Линейные уравнения первого порядка
Определение. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной.
Линейное уравнение первого порядка имеет вид:
(1)
где
заданные
непрерывные функции от
или постоянные числа.
Решение линейного уравнения будем искать в виде произведения двух функции от :
(2)
где
.
Дифференцируя обе части последнего
выражения, получим:
(3)
Значения
подставим в данное уравнение (1)
или
Выберем
функцию
такой, чтобы
,
(4)
тогда
.
(5)
Решив
сначала уравнение (4) и затем уравнение
(5), найдём значения
и
.
Подставив значения
и
в (2) найдём решение уравнения (1).
Замечание:
Уравнение
вида
,
(6)
где
и
,
называется уравнением
Бернулли.
Уравнение
Бернулли приводится к линейному следующим
преобразованием: разделим все члены
уравнения на
(7)
и
произведём замену
.
(8)
Тогда
.
(9)
Подставив
значения (8) и (9) в (7), получим
или
(10)
Решив линейное уравнение (10) и учитывая, что , найдём решение уравнения (6).
Заметим,
что уравнение (6) часто можно решить
как и линейное уравнение с помощью
подстановки
Уравнение в полных дифференциалах
Определение. Уравнение
называется уравнением в полных дифференциалах, если и - непрерывные, дифференцируемые функции, для которых выполняется соотношение
Левая
часть такого уравнения есть полный
дифференциал некоторой функции
.
Если это уравнение переписать в виде
,
то его общее решение определяется
равенством
Функция
может быть найдена по формуле
.
Интегрирующий множитель
Пусть
левая часть уравнения
не есть полный дифференциал. Иногда
удаётся подобрать такую функцию
,
после умножения на которую всех членов
уравнения левая часть уравнения
становится полным дифференциалом.
Общее решение полученного таким образом уравнения совпадает с общим решением первоначального уравнения; функция называется интегрирующим множителем данного уравнения.
Для
того чтобы найти
умножим обе части уравнении на неизыестный
пока интегрирующий множитель
:
Для того чтобы последнее уравнение было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение:
т.е.
или
.
После деления обеих частей последнего
уравнения на
,
получим:
.
Задача нахождения из последнего уравнения ещё труднее, чем первоначальная задача интегрирования данного уравнения. Только в некоторых частных случаях .
удаётся найти функцию
Пусть,
например, данное уравнение допускает
интегрирующий множитель, зависящий
только от
.
Тогда
и для отыскания мы получаем обыкновенное дифференциальное уравнение
Откуда
Аналогично, если у данного уравнения существует интегрирующий множитель, зависящий только от , то он находится по формуле
