Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского (МАТИ)

Предмет:

Алгебра и геометрия

Файл:

Теория поля

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2014

Размер:

340.53 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Ц = !ò (a,τ 0 )dl = òò(rota,n0 )ds;

rot a =

= -2(x + y)

¶x

¶y

¶z

-x2

n0 =

grad F

, F (x, y, z) = x2 + z2 -1+ y;

grad F

;

n0 =

+ 2zk

4x2 +1+ 4z2

1−x2

Ц = òò-2(x + y)

ds = -2òò(x + y)dxdy = -2òdx ò (x + y)dy =

+1+ 4z

σ xy

1 æ

y2 ö

1−x2

2 ù

= -2òç xy +

= -2ò

êx(1

- x

(1- x

)

ú dx = -

;

0 è

2 ø

ds =

dxdy

;cosγ =

cosγ

4x2 +1+ 4z2

C 1

n 0

σ xy

Задача3. Вычислитьциркуляциювекторногополя a(M ) = xj - zk

вдольконтура,полученногоприпересеченииконуса x2 + y2 = (z - 3)2

скоординатнымиплоскостями(см.рис.5.4) a) непосредственно,б)потеоремеСтокса..

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com

n 0

Рис.5.4.

Решение.а)Линия L состоитиздвухотрезков BC и CA

1)	Наотрезке BC имеем
x = 0,dx = 0;
y = 3- z;dy = -dz (0 £ z £ 3)
		3	z	2	3	9

ò Pdx + Qdy + Rdz = ò -zdz = -ò zdz = -					= -
			2			2
BC	BC	0			0

2) Наотрезке CA имеем

y= 0,dy = 0;

x = 3- z;dx = -dz,

òPdx + Qdy + Rdz = ò xdy - zdz = - ò zdz = -ò0 zdz

CA				CA	CA	3
3) Надуге
3) Надуге				AB имеем
ì	2	+ y	2	= 9,
íx		+ y		= 9,
îz = 0

дуги AB окружности.

= - z2 0 = 9 . 2 3 2

параметрическиеуравнениядуги

ìx = 3cost,		π
ï	£ t £	π	,
íy = 3sin t,0	£ t £	2	,
ï		2
îz = 0,

поэтому

dx = −3sin tdt, dy = 3costdt, dz = 0,

ò Pdx + Qdy + Rdz = ò xdy -


AB								AB
=	9	æ	-	sin 2t ö		π 2	=	9	π.

	2	ç1		2	÷			4
		è			ø	0

AB имеютвид

1	9	1
zdz = ò2 (3cos t ×3cost)dt =	9	ò2 (1- cos 2t)dt =
0	2	0

витогеполучаем	9		9		9		9
Ц = ò+ ò+ ò= -		+		+		π =		π.
	2		2		4		4
BC CA AB

б)ВычисляемциркуляциюпотеоремеСтокса.Находим

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com

rot a =

= 0×

+ 0×

¶x

¶y

¶z

-z

Вкачествеповерхности S выбираемконус

x2 + y2 = (z - 3)2 ,

Тогда(см.рис.5.4)

+ yj

- (z - 3)k

+ yj

- (z - 3)k

x2 + y2 + (z - 3)3

2(x2 + y2 )

Ц = òò(rot a,n0 )ds = 9òò

-(z - 3)

ds = òò

3 - z

dxdy =

(

)

2(x

)

3- z

+ y

σ xy

2(x2 + y2 )×

(x2 + y2 )

=σòòxy dxdy = 4 ×π ×9 = 4 π.

6.Соленоидальноеполе.Потенциальноеполе.Гармоническоеполе.

Векторное поле a (M ) , заданное в области Ω , называется соленоидальным, если в каждой точке M Ω справедливо:

div a (M ) = 0.

Задача1.Установить,чтоплоскоевекторноеполе

a (M ) = (-y + 2)i + (x - 3) j

соленоидально,инайтивекторныелинииэтогополя. Решение.Вычислим div a (M ) :

div a (M ) = ¶ (-y + 2) + ¶ (x - 3) = 0. ¶x ¶y

Следовательно, данное поле соленоидально. Найдем векторные линии этого поля. Составим дифференциальноеуравнениевекторныхлиний.

dx	=	dy	.
-y + 2
		x - 3

Разделяяпеременныеиинтегрируя,получаем (x - 3)dx = (- y - 2)dy,

(x - 3)2 + ( y - 2)2 = C2.

Итак, семейство векторных линий представляет собой семейство концентрических окружностей с центромвточке(3.2).Векторныелиниизамкнуты.

Векторное поле a (M ) , заданное в области Ω , называется потенциальным, если оно может быть

представленоввиде

a (M ) = gradu (M ) ,

где u (M ) -скалярнаяфункция,называемаяпотенциаломвекторногополя a (M ) .

Необходимое и достаточное условие существования в области потенциального векторного поля

a (M ) :

rot a (M ) º 0.

Правило нахождения потенциала векторного поля. Для нахождения потенциала u (M ) = u (x, y, z) векторногополя

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com

a (M ) = P (M )i + Q (M ) j + R (M )k

применяетсяформула

òòP (M )dx + Q(M )dy + R (M )dz = òdu (x, y, z) =u (x, y, z)− u (x0 , y0 , z0 ).

MM0

Эта формула дает возможность найти потенциал u (x, y, z) векторного поля a (M ) с точностью до постоянного слагаемого u (x0 , y0 , z0 ). Так как линейный интеграл в потенциальном поле не зависит от

пути интегрирования, то на практике чаще всего в качестве такого пути в формуле (5.1) берут ломаную M0 ABM (рис. 6.1) , звенья которой параллельны соответствующим координатным осям. Тогда формула (6.1)пишетсятак

u (x, y, z) = òxx0 P (x, y0 , z0 )dx + òyy0 Q (x, y, z0 )dy + òzz0 R (x, y, z)dz.

M (x, y, z)

M0 (x0 , y0 , z0 )

Рис.6.1.

A(x, y0 , z0 )	B (x0 , y, z)
0	y

Задача2.Доказать,чтовекторноеполе a = xi + yj + zk

являетсяпотенциальныминайтиегопотенциал.

Решение.Поле будетпотенциальным,если rot a ≡ 0 .Найдемроторвекторногозаданногополя:

rot a(M ) =

∂

≡ 0.

∂x

∂y

∂z

Итак, поле является потенциальным. Для нахождения потенциала данного поля воспользуемся

формулой(6.2), гдевыберемточку M 0 (0,0,0),совпадающейсначаломкоординат:

(см.рис.6.2).Тогдаполучим

u(x, y, z) = ò0x xdx + ò0y ydy + ò0z zdz + C =

+ C.

M 0 (0,0,0

) 0

M (x, y, z)

B(x, y,0)

A(x,0,0)

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com

Интерес представляет изучение векторных полей, одновременно являющихся потенциальными и соленоидальными.

Пустьвекторноеполе a = a(M ) задановнекоторойпространственнойобласти D .Ононазывается

гармоническим(илилапласовым),если

rot a(M ) = 0 и diva(M ) = 0

M D.

Итак,гармоническоеполеобладает свойствамикакпотенциального,такисоленоидальногополя.Для

гармонического полясправедливо:

diva(M ) = divgradu(x, y, z) =

u = 0

или

¶2u

= 0

(6.3)

¶x2

¶y2

¶z

Уравнение(5.3)называетсяуравнениемЛапласа,аоператор

-операторомЛапласаилапласианом.

Гармоническоеполеполностьюопределяетсяскалярнымпотенциалом u(x, y, z),которыйявляется

решениемуравнения(6.3).

Задача3.Показать,чтополевектора

являетсягармоническим (т.е. соленоидальным и потенциальным). Найти потенциал этого поля (

радиус-векторточки M ).

Решение.Имеем

a =

+ yj

+ zk

(x2 + y2 + z2 )32

Находим

= (x2

+ y2 + z2 )−32

x(x2 + y2

+ z2 )−52 × 2x + (x2 + y2 + z2 )−32

div a =

¶P

¶Q

¶R

¶y

¶x

¶z

y(x2 + y2 + z2 )−52 × 2y + (x

2 + y2 + z2 )−32 -

z(x2 + y2 + z2 )−52 × 2z = 0

Значит,полевектора a(M ) -соленоидальное.

Далеевычисляем

rot a =

¶x

¶y

¶z

x(x2 + y2 + z2 )−32

y(x2 + y2 + z2 )−32

z(x2 + y2 + z2 )−32

−

−5

ê-

+ y

+ z

)

× 2yz +

+ y

+ z

)

× 2zyúi

−

−5

ê-

+ y

+ z

)

× 2zx +

+ y

+ z

)

× 2xzú j

−

−5

ê-

+ y

+ z

)

× 2xy +

+ y

+ z

)

× 2yxúk

= 0

Следовательно,поле a(M ) -потенциальное. Находимпотенциалполя a(M )

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com

u(x, y, z)

= òP(x, y0 , z0 )dx + òQ(x, y, z0 )dy + òR(x, y, z)dz =

xdx

ydy

zdz

= ò

+ ò

x0 (x2

+ y2 + z2 ) 2

y0 (x2

+ y2 + z2 ) 2

(x2 + y2 + z2 )

= -

x2 + y2 + z2

x02 + y02 + z02

ОператорГамильтона.

Оператор

Гамильтона или

так

называемый

набла-вектор Ñ

- это символический вектор,

определяемыйвдекартовойсистемекоординатвыражением

Ñ =

j +

(7.1)

¶x

¶z

¶y

При помощи Ñ -вектора основные операции векторного анализа (нахождение скалярного поля, дивергенцииироторавекторногополя)записываютсяследующимобразом:

gradu = Ñu	(7.2)
div a = (Ñ × a )	(7.3)
rot a = Ñ ´ a	(7.4)

Нижеприведенрядформул,полученныхприпомощиоператора Ñ . grad{u1 ×u2 }= Ñu1u2 = u1Ñu2 + u2Ñu1 = u1 gradu2 + u2 grad u1 , divua = Ñ × ua = uÑa + aÑu = u div a + a grad u,

rot ua = Ñ ´ ua = (Ñu)´ a + u(Ñ ´ a ) = (grad u)´ a + u rot a = u rot a - a ´ gradu.

Задача1.ЗаписатьприпомощиоператораГамильтона

divgradu = u(x, y, z).

Решение.Имеем

divgradu = Ñ × grad u = Ñ × (Ñu) = Ñ2u = Du,

¶2

2 +

где Ñ = D -операторЛапласа çD =

¶x

¶y

¶z

= dz

2πρ 2

или

ì dx = dy

ïí- y x ïîdz = 0

Послеинтегрированияполучим

x2 + y2 = C12 ,

z = C2

Векторными линиями рассматриваемого поля будут концентрические окружности радиуса C1 с центромнаоси OZ ,расположенные вплоскости Z = C2 .

Задача2.Имеетсяплазменныйшнуркруговогосечениярадиуса a ,покоторомутечетэлектрический

токплотности

æ x2	+ y2 ö32
ç			÷
		2
J = J0 ç	a		÷
è			ø

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com

Определитьполныйток,проходящийчерезсечениеплазменногошнура.

Решение. Вдоль оси плазменного шнура направим осьOZ (рис. 8.1). Вектор плотности тока имеет

вид

æ x2

+ y2 ö32

J = 0 × i +

0 × j + J

k ,

0 ç

нормаль

n 0 = 0 × i

+ 0 ×

+1× k

Полныйток

ö32

I = òò(J , n

+ y

ds,

)ds = J0 òòç

Σ è

где круградиуса a .Переходякполярнымкоординатам,получаем

	3	2π	a	4		ρ 4	a		2πa5

I = J0 òòρ		× dρdϕ = J0 òdϕò ρ			dρ = 2π		0	=		J0 .
						5			5
Σ		0	0

= k

(M ) напряженности магнитного поля,

Задача 3. Определить ротор вектора

образованного

электрическим током силой I ,

текущим по бесконечно длинному проводу,

в точке M ,

лежащей

вне

провода(рис.8.2).

(M )

Решение. Выберемсистемукоординаттак,чтобыось OZ совпадаласпроводником.Тогда

определяетсяформулой

(M ) =

− I

2πρ

2πρ 2

где ρ =

–расстояниеотточки M (x, y, z) дооси OZ .Поформуленайдем rot

(M ):

x2 + y2

é I

öù

rot H (M ) =

= i × 0 +

j × 0 + k ê

¶x

¶y

¶z

+ y

2 ÷

2π

ç-

+ y

2 ÷ú

ë2π

¶x è x

¶y è

øû

- Iy

2πρ 2

é x2

+ y2 - 2x2

+ y2 - 2y2 ù

úk

= 0

(x2 + y2 )2

2π ê (x2 + y2 )2

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com

M (x, y, z)

Рис.8.2.

Итак, в любой точке поля кроме точек, лежащих на оси OZ , по которой протекает ток,

rot

(M ) = 0 .

Наоси OZ вектор

(M ),а,следовательно,и rot

(M ),теряютсмысл.

Задача 4. Найти циркуляцию вектора

(M )

напряженности магнитного поля в условиях

предыдущей задачи: 1) по кривой L1 , не окружающей проводник; 2) по окружности L2 , окружающей

проводник,находящийсявплоскости,перпендикулярнойоси OZ ,сцентромнаэтойосиирадиусомравным

R .(рис.8.2)

Решение. 1) Пусть L1 – произвольный замкнутыйконтур, ограничивающийобласть, через которую непроходитось OZ .Таккаквовсехточкахэтойчастиполя rot H (M ) = 0 ,тополучим

òH × dr =òòrot H × n 0 ds = 0,dr = τ 0 × dl

Пусть L2 – окружность радиуса R , лежащая в плоскости, перпендикулярной оси OZ с

центромнаэтойоси.Тогдаполучим

× dr

= ò-

dx +

dy =

ò xdy - ydx =

× 2S =

× 2πR2 = I.

2πR

Итак, òH × dr =I.

Отличие от нуля циркуляции во втором случае можно объяснить тем, что не во всех точках области поля,ограниченнойконтуром L2 ,роторвектора H равеннулю.

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com

ЛИТЕРАТУРА

1.Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функциикомплексногопеременного.–М.:Наука,1981–448с.

2.Специальные разделы математическогоанализа: Сборникзадач поматематике длявтузов. Ч. П. Подред.А.В.ЕфимоваиБ.П.Демидовича.–М.Наука,1986–366с.

3.КрасновМ.Л.,КиселевА.И.,МакаренкоГ.И.Векторныйанализ.–М.:Наука,1978.–159с.

4.Глатенок И. В., Заварзина И.Ф. Методические указания к практическим занятиям по курсу «Высшаяматематика»,«Теорияполя».М.–1989г.–39с.

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в предмете Алгебра и геометрия

#
01.05.2014467.97 Кб49ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ.doc
#
01.05.20141.46 Mб546ПРОИЗВОДНАЯ И ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ.doc
#
01.05.2014911.36 Кб105Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Устойчивость решений.doc
#
01.05.2014288.77 Кб50РЯДЫ.doc
#
01.05.2014326.14 Кб111Современное линейное программирование (Сборник задач с решениями на MAPLE5).doc
#
01.05.2014340.53 Кб46Теория поля.pdf
#
01.05.20143.46 Mб51УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ (Элементы аналитической геометрии на плоскости).doc
#
01.05.2014619.01 Кб88Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка.doc
#
01.05.201431.74 Кб120Шпаргалка по математике.doc
#
01.05.20141.53 Mб74ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОЙ АЛГЕБРЫ И ТЕОРИИ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.doc