Туннельный эффект

Туннельный эффект – явление, при котором частица с энергией Е налетает на

потенциальный барьер U(x) >E и , в силу своих волновых свойств, с

определенной вероятностью может пройти сквозь него (как бы по туннелю).

Пусть частица налетает на барьер слева. В области 1 имеются падающая и отраженная волны. В областях 2 и 3 – только прошедшая волна.

В случае потенциального барьера произвольной формы вероятность прохождения сквозь него частицы, т.е. коэффициент прохождения

• Туннельный эффект – специфическое квантовое явление, в принципе невозможное в классической физике.

Состояние квантовой частицы:

1. задается ψ – функцией, а не координатами и импульсом;

2. вид ψ – функции зависит от конкретного потенциального поля, в котором находится частица;

3. ψ – функция определяет распределение по координатам, импульсам и другим динамическим характеристикам (существуют механизмы получения динамических характеристик частицы по ее ψ – функции).

Средние значения физических величин

Пусть для частицы , т.е. зависит только от координаты. Известно, что плотность вероятности найти частицу в окрестности координаты х:

= ² = (х). Тогда вероятность нахождения частицы в интервале

(х;х + dx) есть dP = dx и среднее значение координаты . При этом dx = 1 – условие нормировки. Среднее значение любой функции

<f(x)> = . Математически доказано, что среднее значение проекции импульса р_х частицы, состояние которой задается функцией будет:

<p_x> = (-iħ )dx.

Сопоставим: <x> = ; <f(x)> = ; <p_x> = (-iħ ) .

Такая форма записи удобна для понимания математического формализма квантовой теории.

Операторы

Оператор – символическое обозначение математической операции, которую надо совершить с интересующей нас функцией.

Свойства операторов:

1. если = + , то Ĉf(x) = f(x) + f(x);

2. если = , то f(x) = ( f(x))

• В общем случае . Пример: = x; =

( )f(x) = ( f(x)) = x . ( )f(x) = ( f(x)) = (x f(x)) = f(x) + x ;

3. если , то и – коммутирующие операторы,

если , то и – не коммутирующие;

4. сложение и умножение операторов (с учетом их коммутируемости) производится по обычным правилам сложения и умножения чисел.

5. если для любых двух функций f₁и f₂и любых двух постоянных ₁ и ₂ выполняется соотношение ₁f₁ + ₂f₂) = ₁ f₁ + ₂ f₂ , то оператор называют линейным.

• С линейностью операторов связан принцип суперпозиции состояний.

Основные постулаты квантовой теории

1. Среднее значение любой физической величины Q находится по формуле: , где - оператор физической величины Q.

2) Операторы величин x и : (это видно из сопоставления 1) с формулами для <x> и <p_x>. Для , , , аналогично.

• Операторы и - основные в квантовой теории.

3) Общее правило операторов других физических величин: формулы классической физики, связывающие величины, следует рассматривать как формулы, связывающие операторы этих величин.

Пример 1: p² = + +

= + + = (-iħ )² + (-iħ )² + (-iħ )² = - ħ²( + + ) = - ħ² , где

- оператор Лапласа.

Пример 2: K = = = =

Для потенциальных полей: U = x оператор потенциальной энергии: = =

Пример 3: E = K + U = = + , где

- оператор полной энергии.

Пример 4: = = –момент импульса в классической механике.

Тогда проекция момента импульса на ось z:

M_z = x p_y – y p_x = x -y =x (-iħ ) – y(-iħ ) = -iħ(x –y )

4)Доказано, что в сферической системе координат

5)Среднее значение полной энергии

• Это следует из <E> = = +

• <E> = <K> + <U>не эквивалентно E = K + U, т.к. в силу соотношения неопределенностей K и U не могут одновременно иметь определенные значения (K p, U x), при этом связь между средними значениями сохраняется.

Перед тем как сформулировать следующий постулат дадим некоторые определения:

Собственное состояние – состояние, в котором величина Q имеет

собственное (определенное ) значение.

Собственные значения величины Q – значения, при которых существуют собственные функции оператора .

Собственные функции оператора – ψ – функции, которые являются решениями

уравнения и удовлетворят естественным условиям

6)Собственное состояние величины Q описывается собственной ψ – функцией, которая

является решением уравнения , где – оператор величины Q.

Проверка: <Q> = т.к. в данном состоянии Q = const и = 1

• Собственные значения Q, полученные математически, обнаруживаются и измеряются экспериментально.

• Уравнение есть обобщение правила квантования энергии на случай любых физических величин. Для :

= ( + U) = E или + (E – U) = 0 – уравнение Шредингера для стационарных состояний.