Квантовый гармонический осциллятор

В классической физике гармонический осциллятор – частица, движущаяся под действием квазиупругой силы с собственной частотой колебаний (где k и m - постоянные) и обладающая потенциальной энергией .

В квантовой физике из-за соотношения неопределенностей понятие силы теряет смысл и под гармоническим осциллятором понимают частицу массы m, обладающую потенциальной энергией U(х) такой же, как у классического осциллятора: , где

æ = const. Формально вводят , которая не имеет физического смысла частоты колебаний. Тогда и уравнение Шредингера для стационарных состояний принимает вид: . Оно имеет решения (конечные, однозначные, непрерывные и гладкие), т.е. - функции при собственных значениях: , где

v = 0, 1, 2, ...- квантовое число. эквидистантны. Схема энергетических уровней:

- нулевая энергия, что соответствует принципу неопределенности (частица не может лежать на дне параболической потенциальной ямы, т.к. не может иметь точной координаты).

Доказано, что для квантового осциллятора возможны переходы лишь между соседними уровнями при которых v меняется на единицу - правило отбора для квантового гармонического осциллятора. Каждый переход сопровождается испусканием (при уменьшении v) или поглощением (при увеличении v) кванта энергии , т.е. здесь формальная величина приобретает физический смысл.

Неверно полагать, что осциллятор совершает колебания с частотой w. Следует гово-рить не о колебаниях, а о плотности распределения вероятности местонахождения частицы:

Классическая частица:

1. за пределы интервала выйти не может;

2. с наибольшей вероятностью (во времени) ее можно обнаружить в крайних точках, где ее скорость уменьшается до нуля, полная энергия E = U и она совершает поворот.

Квантовая частица:

1. может быть обнаружена за пределами интервала (- х; + х), в котором E<U.

2. может быть обнаружена в середине интервала с большей вероятностью чем по краям (особенно для v = 0).

3. с увеличением v квантовый осциллятор все более похож на классический (вероятность обнаружения частицы в центре интервала уменьшается, по краям – увеличивается).

Колебания в молекуле

К гармоническому осциллятору сводится задача о колебаниях атомов в молекуле. График зависимости потенциальной энергии взаимодействия атомов в молекуле NaCl от расстояния между ними имеет вид:

Из вида следует, что атомы могут совершать равновесные колебания относительно и у молекулы должны существовать дискретные уровни энергии , где ; - приведенная масса. Нижняя часть - парабола и при малых колебаниях молекула ведет себя как идеальный гармонический осциллятор: уровни энергии эквидистантны, переходы подчиняются правилу отбора и спектр состоит из одной частоты .

С увеличением амплитуды колебаний гармоничность нарушается, уровни сгущаются и при вычислении E надо вводить поправку.

П отенциальные барьеры

Рассмотрим потенциальный барьер

U(x) = 0 при x< 0

U(x) = U₀ при x ≥ 0. Пусть на границу барьера слева налетает частица, т.е. «падает» дебройлев-ская волна ψ(x;t) = ae^i(kx-ωt)

Доказано, что в этом случае существуют три волны: падающая, отраженная, проходящая. Все они имеют ω = , поэтому в расчет можно принимать только координатную часть функции (x;t), т.е. ψ(х). Тогда уравнение Шредингера принимает вид: + k²ψ = 0, где k² = (E- U₀).

Случай 1: E>U₀. Тогда общее решение уравнения + k²ψ = 0 будет:

Ψ₁(х 0) = a₁exp(ik₁x)+b₁exp(-ik₁x), гдеk₁ = (область 1)

Ψ₂(х 0) = a₂exp(ik₂x)+b₂exp(-ik₂x), гдеk₂= (область 2)

При этом полагают, что а₁ – амплитуда падающей волны, b₁ – отраженной,

а₂-проходящей, b₂=0, т.к. в области 2 других волн нет.

Коэффициент отражения R = ( )² = ( ² .

Коэффициент прохождения D = ( )² = При этом R + D = 1.

• В классической физике при Е>U₀ R = 0.

Случай 2: E<U₀. Расчеты дают R = 1, k₂ = , гдеk=const> 0.

Тогда Ψ₂ = а₂ = a₂e^-kx и плотность вероятности 𝓅(x) = = e^-2kx = 𝓅(o) , т.е. несмотря на то, что R=1 (полное отражение) ψ – функция проникает сквозь барьер и в области 2 экспоненциально убывает.

Глубина проникновения (𝑙) – расстояние, на котором

плотность вероятности 𝓅(x) убывает в е раз.

Тогда = e = 2kl = 1 и 𝑙 = или 𝑙 = , т.е. чем выше потенциальный барьер U₀, тем меньше глубина проникновения.

• В классической физике проникновение частицы под барьер запрещено (иначе при E<U₀ кинетическая энергия K< 0, что невозможно). В квантовой физике соотношение E = K + U в силу принципа неопределенности теряет смысл, что делает такое проникновение возможным.