Оценка точности аппроксимации

Заключительным этапом построения математической модели объекта является оценка точности аппроксимации. Обычно принимают, что модель адекватна объекту, если разность между ординатами нормированных переходных функций модели и объекта не превышает 0,05-0,07. Расчет переходной функции модели, имеющей передаточную функцию (1.2) удобно производить путем численного интегрирования на ЦВМ, описывающей ее системой дифференциальных уравнений.

Для этого исходная система уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных

Полученная система дифференциальных уравнений первого порядка решается с помощью численного интегрирования методом Рунге-Кутта второго порядка [I]. Для дифференциального уравнения первого порядка

при начальном условии алгоритм вычислений этим методом на каждом шаге интегрирования имеет вид

где h – шаг интегрирования, величина которого должна обеспечивать неравенство

, где Ti – наименьшая постоянная времени системы.

Произведем оценку точности аппроксимации системы, на случай, когда аппроксимирующая передаточная функция имеет вид

Запишем дифференциальное уравнение

Введем новые переменные

(1.16)

при возмущающем воздействии

(1.17)

Обозначив запишем систему дифференциальных уравнений первого порядка

(1.18)

Полученную систему дифференциальных уравнений решим методом Рунге-Кутта второго порядка (программа 2).

Результаты расчета приведены на рис.1.3.

Расчет переходной функции модели на ЦВМ и сравнение ее с экспериментальной переходной функцией показали, что расхождение между ними , т.е. погрешность аппроксимации составляет менее 1-3%.

Определение передаточной функции графическим методом

Передаточную функцию объекта можно можно получить также непосредственно из снятой из опята переходной функции. Для этого запишем дифференциальное уравнение системы второго порядка в виде

.

где Т1 и Т2 – постоянные характеризующие систему и имеющие размерность времени.

Из формулы для корней характеристического уравнения следует, что если Т1>Т2, то при нулевых условиях решение имеет вид:

где через Т’ и Т” обозначены постоянные времени слагающих экспонент, имеющие значение:

Вычислив первую и вторую производную, найдем для точки перегиба:

т.е. касательныя в точке перегиба отсекает на прямой отрезок ВС, равный сумме постоянных времени (рис.1.4).

Постоянные времени слагающих экспонент апериодической системы второго порядка могут быть определены по известной временной характеристике с помощью диаграммы.

Для этого неободимо на временной характеристике провести касательную через точку перегиба Р и определить значение постоянных Тс и Та, как показано на рис.1.5.

На диаграмме [9] отношение Тс\Та используется как точки пересечения прямой с каждой из осей. Прямая линия, проведенная таким образом, пересекает кривую на диаграмме в двух точках, каждая из которой позволяет определить отношение T’\Ta и T’’\Ta. Откуда легко определить T’’\T’’.

,

.

Определим с помощью диаграммы

В соответствии с формуами (1.21)

Аппроксимирующая передаточная функция имеет вид