2. Постановка задачі
Розв’язати задачу лінійного програмування симплекс методом (номер завдання відповідає двом останнім цифрам залікової книжки студента, крім цифр 00 – які відповідають завданню під номером100)
Варіант 48
F(x1,x2)
= 3x1
+ 6x2
max
;
x1
+ x2
8,
3x1 + 7x2 21,
x1 + 2x2 6,
0 x1 7, 0 x2 7.
2.1 Розв’язання без використання пакетів програм.
Графічне вирішення задачі
Знайдемо геометрично найбільше значення лінійної функції
F(x1,x2) = 3x1 + 6x2 max в області, заданої системою нерівностей .
x1 + x2 8,
3x1 + 7x2 21,
x1 + 2x2 6,
0 x1 7, 0 x2 7.
Малюємо графік враховуючи нерівності за рівності і відповідно визначаємо область допустимих значень.
Будую градієнт функції F і переміщаю пряму перпендикулярну йому, поки вона не доторкнеться області допустимих значень.
Якщо переміщатимемо поки вона не пройде всю область допустимих значень, то знайдемо точку максимуму.
ОДЗ
Grad N
x1 + x2 = 8
3x 1 + 7x2 =21
Всі цілочисельні рішення, що належать області G, виділені жирними крапками. Найбільше значення L(x1,x2) в області G дорівнює (0, 8) .
При цьому L(0,8)=48 - найбільше значення цільової функції в області G.
Метод Гоморі .
Вирішимо пряму задачу лінійного програмування симплексним методом, з використанням симплексної таблиці.
Визначимо максимальне значення цільової функції F(x1,x2) = 3x1 + 6x2 max за таких умов-обмежень.
x1 + x2 ≤ 8
3x1 + 7x2 ≥ 21
x1 + 2x2 ≥ 6
Для побудови першого опорного плану систему нерівностей приведемо до системи рівнянь шляхом введення додаткових змінних (перехід до канонічної форми).
В 1-й нерівності (≤) вводимо базисну змінну x3. В 2-й нерівності (≥) вводимо базисну змінну x4 зі знаком мінус. В 3-й нерівності (≥) вводимо базисну змінну x5 зі знаком мінус.
1x1 + 1x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 = 8
3x1 + 7x2 + 0x3-1x4 + 0x5 = 21
1x1 + 2x2 + 0x3 + 0x4-1x5 = 6
Введемо штучні змінні x: в 2-у рівність вводимо змінну x6; в 3-у рівність вводимо змінну x7;
1x1 + 1x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7 = 8
3x1 + 7x2 + 0x3-1x4 + 0x5 + 1x6 + 0x7 = 21
1x1 + 2x2 + 0x3 + 0x4-1x5 + 0x6 + 1x7 = 6
Для постановки завдання на максимум цільову функцію запишемо так:
F(X) = 3x1+6x2 - Mx6 - Mx7 => max
За використання штучних змінних, що вводяться в цільову функцію, накладається так званий штраф величиною М, дуже велике позитивне число, яке зазвичай не задається.
Отриманий базис називається штучним, а метод рішення називається методом штучного базису.
Причому штучні змінні не мають відношення до змісту поставленого завдання, однак вони дозволяють побудувати стартову точку, а процес оптимізації змушує ці змінні приймати нульові значення та забезпечити допустимість оптимального рішення.
З рівнянь знаходимо значення штучних змінних:
x6 = 21-3x1-7x2+x4
x7 = 6-x1-2x2+x5
які підставимо в цільову функцію:
F(X) = 3x1 + 6x2 - M(21-3x1-7x2+x4) - M(6-x1-2x2+x5) => max
або
F(X) = (3+4M)x1+(6+9M)x2+(-1M)x4+(-1M)x5+(-27M) => max
Матриця коефіцієнтів A = a(ij) цієї системи рівнянь має вигляд:
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
7 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
2 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
Базисні змінні це змінні, які входять тільки в одне рівняння системи обмежень і притому з одиничним коефіцієнтом.
Вирішимо систему рівнянь відносно базисних змінних:
x3, x6, x7,
Вважаючи, що вільні змінні рівні 0, отримаємо перші опорний план: X1 = (0,0,8,0,0,21,6)
Базисне рішення називається допустимим, якщо воно невід'ємне.
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x3 |
8 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
x6 |
21 |
3 |
7 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
x7 |
6 |
1 |
2 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
F(X0) |
-27M |
-3-4M |
-6-9M |
0 |
1M |
1M |
0 |
0 |
Переходимо до основного алгоритму симплекс-методу.
Ітерація №1.
1. Перевірка критерію оптимальності.
Поточний опорний план неоптимальний, тому що в індексному рядку знаходяться негативні коефіцієнти.
2. Визначення нової базисної змінної.
В якості ведучого виберемо стовпець, відповідний змінній x1, так як це найбільший коефіцієнт по модулю.
3. Визначення нової вільної змінної.
Обчислимо значення Di по рядках як частка від ділення: bi / ai1
і з них виберемо найменше:
min (8 : 1 , 21 : 3 , 6 : 1 ) = 6
Отже, 3-ий рядок є провідним.
Розв’язуючий елемент дорівнює (1) і стоїть на перетині ведучого стовпця і вивідного рядка.
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
min |
x3 |
8 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
8 |
x6 |
21 |
3 |
7 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
7 |
x7 |
6 |
1 |
2 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
6 |
F(X1) |
-27M |
-3-4M |
-6-9M |
0 |
1M |
1M |
0 |
0 |
0 |
4. Перерахунок симплекс-таблиці.
Формуємо наступну частину симплексного таблиці.
Замість змінної x в план 1 увійде змінна x1 .
Рядок, який відповідає змінній x1 в плані T1, отриманий в результаті поділу всіх елементів рядка x7 плану 0 на розв’язуючий елемент РЕ=1. На місці розв’язуючий елемента в плані Т1 отримуємо 1. В інших клітинах стовпця x1 плану Т1 записуємо нулі.
Таким чином, у новому плані Т1 вже маємо заповнені рядок x1 і стовпець x1.
Всі інші елементи нового плану Т1, включаючи елементи індексного рядка, визначаються за правилом прямокутника.
Для цього вибираємо зі старого плану чотири числа, які розташовані в вершинах прямокутника і завжди включають розв’язуючий елемент РЕ.
НЕ = СЕ - (А * В) / РЕ
СТЕ - елемент старого плану, РЕ - розв’язуючий елемент (1), А і В - елементи старого плану, що утворюють прямокутник з елементами СТЕ і РЕ.
Уявімо розрахунок кожного елемента у вигляді таблиці:
B |
x 1 |
x 2 |
x 3 |
x 4 |
x 5 |
x 6 |
x 7 |
8-(6 • 1):1 |
1-(1 • 1):1 |
1-(2 • 1):1 |
1-(0 • 1):1 |
0-(0 • 1):1 |
0-(-1 • 1):1 |
0-(0 • 1):1 |
0-(1 • 1):1 |
21-(6 • 3):1 |
3-(1 • 3):1 |
7-(2 • 3):1 |
0-(0 • 3):1 |
-1-(0 • 3):1 |
0-(-1 • 3):1 |
1-(0 • 3):1 |
0-(1 • 3):1 |
6 : 1 |
1 : 1 |
2 : 1 |
0 : 1 |
0 : 1 |
-1 : 1 |
0 : 1 |
1 : 1 |
(0)-(6 • (-3-4M)):1 |
(-3-4M)-(1 • (-3-4M)):1 |
(-6-9M)-(2 • (-3-4M)):1 |
(0)-(0 • (-3-4M)):1 |
(1M)-(0 • (-3-4M)):1 |
(1M)-(-1 • (-3-4M)):1 |
(0)-(0 • (-3-4M)):1 |
(0)-(1 • (-3-4M)):1 |
Отримуємо нову симплекс-таблицю:
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x3 |
2 |
0 |
-1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
x6 |
3 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
3 |
1 |
-3 |
x1 |
6 |
1 |
2 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
F(X1) |
18-3M |
0 |
-1M |
0 |
1M |
-3-3M |
0 |
3+4M |
Ітерація №2.
1. Перевірка критерію оптимальності.
Поточний опорний план неоптимальним, тому що в індексному рядку знаходяться негативні коефіцієнти.
2. Визначення нової базисної змінної.
В якості ведучого виберемо стовпець, відповідний змінній x2, так як це найбільший коефіцієнт по модулю.
3. Визначення нової вільної змінної.
Обчислимо значення Di по рядках як частка від ділення: bi / ai2
і з них виберемо найменше: min (- , 3 : 1 , 6 : 2 ) = 3
Отже, 2-ий рядок є провідним.
Розв’язуючий елемент дорівнює (1) і стоїть на ведучого стовпця і вивідного рядка.
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
min |
x3 |
2 |
0 |
-1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
- |
x6 |
3 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
3 |
1 |
-3 |
3 |
x1 |
6 |
1 |
2 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
3 |
F(X2) |
18-3M |
0 |
-1M |
0 |
1M |
-3-3M |
0 |
3+4M |
0 |
4. Перерахунок симплекс-таблиці.
Формуємо наступну частину симплексного таблиці. Замість змінної x в план Т2 увійде змінна x2 . Рядок, який відповідає змінній x2 в плані Т2, отриманий в результаті поділу всіх елементів рядка x6 плану 1 на розв’язувальний елемент РЕ=1.
На місці розв’язувального елементу в плані Т2 отримуємо 1. В інших клітинках стовпця x2 плануТ 2 записуємо нулі.
Таким чином, у новому плані Т2 заповнені стають рядок x2 і стовпець x2.
Всі інші елементи нового плану Т2, включаючи елементи індексного рядка, визначаються за правилом прямокутника.
Уявімо розрахунок кожного елемента у вигляді таблиці:
B |
x 1 |
x 2 |
x 3 |
x 4 |
x 5 |
x 6 |
x 7 |
2-(3 • -1):1 |
0-(0 • -1):1 |
-1-(1 • -1):1 |
1-(0 • -1):1 |
0-(-1 • -1):1 |
1-(3 • -1):1 |
0-(1 • -1):1 |
-1-(-3 • -1):1 |
3 : 1 |
0 : 1 |
1 : 1 |
0 : 1 |
-1 : 1 |
3 : 1 |
1 : 1 |
-3 : 1 |
6-(3 • 2):1 |
1-(0 • 2):1 |
2-(1 • 2):1 |
0-(0 • 2):1 |
0-(-1 • 2):1 |
-1-(3 • 2):1 |
0-(1 • 2):1 |
1-(-3 • 2):1 |
(3+4M)-(3 • (-1M)):1 |
(0)-(0 • (-1M)):1 |
(-1M)-(1 • (-1M)):1 |
(0)-(0 • (-1M)):1 |
(1M)-(-1 • (-1M)):1 |
(-3-3M)-(3 • (-1M)):1 |
(0)-(1 • (-1M)):1 |
(3+4M)-(-3 • (-1M)):1 |
Отримуємо нову симплекс-таблицю:
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x3 |
5 |
0 |
0 |
1 |
-1 |
4 |
1 |
-4 |
x2 |
3 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
3 |
1 |
-3 |
x1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
2 |
-7 |
-2 |
7 |
F(X2) |
18 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-3 |
1M |
3+1M |
Ітерація №3.
1. Перевірка критерію оптимальності.
Поточний опорний план неоптимальний, тому що в індексному рядку знаходяться негативні коефіцієнти.
2. Визначення нової базисної змінної.
В якості ведучого виберемо стовпець, відповідний змінній x5, так як це найбільший коефіцієнт по модулю.
3. Визначення нової вільної змінної.
Обчислимо значення Di по рядках як частка від ділення: bi / ai5 і з них виберемо найменше:
min (5 : 4 , 3 : 3 , - ) = 1
Отже, 2-ий рядок є провідним.
Розв’язувальний елемент дорівнює (3) і стоїть на ведучого стовпця і вивідного рядка.
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
min |
x3 |
5 |
0 |
0 |
1 |
-1 |
4 |
1 |
-4 |
11/4 |
x2 |
3 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
3 |
1 |
-3 |
1 |
x1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
2 |
-7 |
-2 |
7 |
- |
F(X3) |
18 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-3 |
1M |
3+1M |
0 |
4. Перерахунок симплекс-таблиці.
Формуємо наступну частину симплексного таблиці. Замість змінної x в план Т3 увійде змінна x5 . Рядок, відповідний змінній x5 в плані Т3, отриманий в результаті поділу всіх елементів рядка x2 плані Т2 на розв’язувальний елемент РЕ=3.На місці розв’язувального елемента в плані Т3 отримуємо 1.В інших клітинках стовпця x5 плану 3 записуємо нулі.
Таким чином, у новому плані 3 заповнені рядок x5 і стовпець x5.
Всі інші елементи нового плану 3, включаючи елементи індексного рядка, визначаються за правилом прямокутника.
Уявімо розрахунок кожного елемента у вигляді таблиці:
B |
x 1 |
x 2 |
x 3 |
x 4 |
x 5 |
x 6 |
x 7 |
5-(3 • 4):3 |
0-(0 • 4):3 |
0-(1 • 4):3 |
1-(0 • 4):3 |
-1-(-1 • 4):3 |
4-(3 • 4):3 |
1-(1 • 4):3 |
-4-(-3 • 4):3 |
3 : 3 |
0 : 3 |
1 : 3 |
0 : 3 |
-1 : 3 |
3 : 3 |
1 : 3 |
-3 : 3 |
0-(3 • -7):3 |
1-(0 • -7):3 |
0-(1 • -7):3 |
0-(0 • -7):3 |
2-(-1 • -7):3 |
-7-(3 • -7):3 |
-2-(1 • -7):3 |
7-(-3 • -7):3 |
(3+1M)-(3 • (-3)):3 |
(0)-(0 • (-3)):3 |
(0)-(1 • (-3)):3 |
(0)-(0 • (-3)):3 |
(0)-(-1 • (-3)):3 |
(-3)-(3 • (-3)):3 |
(1M)-(1 • (-3)):3 |
(3+1M)-(-3 • (-3)):3 |
Отримуємо нову симплекс-таблицю:
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x3 |
1 |
0 |
-11/3 |
1 |
1/3 |
0 |
-1/3 |
0 |
x5 |
1 |
0 |
1/3 |
0 |
-1/3 |
1 |
1/3 |
-1 |
x1 |
7 |
1 |
21/3 |
0 |
-1/3 |
0 |
1/3 |
0 |
F(X3) |
21 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
1+1M |
1M |
Ітерація №4.
Виконую наступні кроки по відомому алгоритму
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
min |
x3 |
1 |
0 |
-11/3 |
1 |
1/3 |
0 |
-1/3 |
0 |
3 |
x5 |
1 |
0 |
1/3 |
0 |
-1/3 |
1 |
1/3 |
-1 |
- |
x1 |
7 |
1 |
21/3 |
0 |
-1/3 |
0 |
1/3 |
0 |
- |
F(X4) |
21 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
1+1M |
1M |
0 |
Перерахунок симплекс-таблиці.
B |
x 1 |
x 2 |
x 3 |
x 4 |
x 5 |
x 6 |
x 7 |
1 : 1/3 |
0 : 1/3 |
-11/3 : 1/3 |
1 : 1/3 |
1/3 : 1/3 |
0 : 1/3 |
-1/3 : 1/3 |
0 : 1/3 |
1-(1 • -1/3):1/3 |
0-(0 • -1/3):1/3 |
1/3-(-11/3 • -1/3):1/3 |
0-(1 • -1/3):1/3 |
-1/3-(1/3 • -1/3):1/3 |
1-(0 • -1/3):1/3 |
1/3-(-1/3 • -1/3):1/3 |
-1-(0 • -1/3):1/3 |
7-(1 • -1/3):1/3 |
1-(0 • -1/3):1/3 |
21/3-(-11/3 • -1/3):1/3 |
0-(1 • -1/3):1/3 |
-1/3-(1/3 • -1/3):1/3 |
0-(0 • -1/3):1/3 |
1/3-(-1/3 • -1/3):1/3 |
0-(0 • -1/3):1/3 |
(1M)-(1 • (-1)):1/3 |
(0)-(0 • (-1)):1/3 |
(1)-(-11/3 • (-1)):1/3 |
(0)-(1 • (-1)):1/3 |
(-1)-(1/3 • (-1)):1/3 |
(0)-(0 • (-1)):1/3 |
(1+1M)-(-1/3 • (-1)):1/3 |
(1M)-(0 • (-1)):1/3 |
Отримуємо нову симплекс-таблицю:
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x4 |
3 |
0 |
-4 |
3 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
x5 |
2 |
0 |
-1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
x1 |
8 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
F(X4) |
24 |
0 |
-3 |
3 |
0 |
0 |
1M |
1M |
Ітерація №5.
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
min |
x4 |
3 |
0 |
-4 |
3 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
- |
x5 |
2 |
0 |
-1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
- |
x1 |
8 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
8 |
F(X5) |
24 |
0 |
-3 |
3 |
0 |
0 |
1M |
1M |
0 |
Перерахунок симплекс-таблиці.
B |
x 1 |
x 2 |
x 3 |
x 4 |
x 5 |
x 6 |
x 7 |
3-(8 • -4):1 |
0-(1 • -4):1 |
-4-(1 • -4):1 |
3-(1 • -4):1 |
1-(0 • -4):1 |
0-(0 • -4):1 |
-1-(0 • -4):1 |
0-(0 • -4):1 |
2-(8 • -1):1 |
0-(1 • -1):1 |
-1-(1 • -1):1 |
1-(1 • -1):1 |
0-(0 • -1):1 |
1-(0 • -1):1 |
0-(0 • -1):1 |
-1-(0 • -1):1 |
8 : 1 |
1 : 1 |
1 : 1 |
1 : 1 |
0 : 1 |
0 : 1 |
0 : 1 |
0 : 1 |
(1M)-(8 • (-3)):1 |
(0)-(1 • (-3)):1 |
(-3)-(1 • (-3)):1 |
(3)-(1 • (-3)):1 |
(0)-(0 • (-3)):1 |
(0)-(0 • (-3)):1 |
(1M)-(0 • (-3)):1 |
(1M)-(0 • (-3)):1 |
Отримуємо нову симплекс-таблицю:
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x4 |
35 |
4 |
0 |
7 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
x5 |
10 |
1 |
0 |
2 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
x2 |
8 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
F(X5) |
48 |
3 |
0 |
6 |
0 |
0 |
1M |
1M |
Ітерація №6.
1. Перевірка критерію оптимальності.
Серед значень індексного рядка немає негативних. Тому ця таблиця визначає оптимальний план завдання.
Остаточний варіант симплекс-таблиці:
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x4 |
35 |
4 |
0 |
7 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
x5 |
10 |
1 |
0 |
2 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
x2 |
8 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
F(X6) |
48 |
3 |
0 |
6 |
0 |
0 |
1M |
1M |
Оптимальний план можна записати так:
x4 = 35
x5 = 10
x2 = 8
F(X) = 6•8 = 48
Рішення вийшло цілочисловим. Немає необхідності застосовувати метод Гоморі.
Оптимальний цілочисельний план можна записати так:
x4 = 35
x5 = 10
x2 = 8
F(X) = 48