§2. Понятие неопределенностей
В практике отыскания
пределов наиболее часто применяются
свойства 2 - 6 об арифметических
действиях над пределами. Однако их
непосредственное применение бывает
невозможно в особых случаях, называемых
неопределенностями, которые возникают
при нарушении их условий. Виды
неопределенностей
,
,
,
.
Кроме этих неопределенностей,
связанных с арифметическими действиями
над пределами, существуют неопределенности
,
,
.
Чтобы найти пределы при наличии неопределенности, надо эту неопределенность устранить, открыв тем самым возможность использования того или иного свойства пределов. Это достигается, с одной стороны, применением алгебраических и тригонометрических преобразований (разложение функции на множители или на слагаемые, приведение дробей к общему знаменателю, добавление и вычитание некоторого выражения, умножение и деление на некоторую функцию, вынесение множителя за скобку и т.п.) заменой переменной, использованием эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших, а с другой стороны, использование так называемых замечательных пределов.
Таблица раскрытия различных видов неопределенностей
Тип неопределенности |
Правило раскрытия |
1. |
1.1. Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо и числитель и знаменатель почленно разделить на переменную величину в наибольшей степени. |
1.2. Для раскрытия неопределенности вида , заданную отношением иррациональных функций, надо и числитель и знаменатель почленно разделить на переменную величину в наибольшей степени с учетом степеней корней. |
|
2. |
2.1. Для того, чтобы
определить предел дробно-рациональной
функции в случае, когда при
числитель и знаменатель дроби имеют
пределы, равные нулю, надо числитель
и знаменатель дроби разделить на
|
2.2. Чтобы раскрыть неопределенность вида , в которой числитель или знаменатель иррациональны, следует надлежащим образом избавиться от иррациональности, умножив и числитель и знаменатель дроби на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения. Неопределенность устраняется после сокращения дроби. В случае квадратных корней и числитель и знаменатель дроби умножаются на сопряженное выражение тому, которое содержит иррациональность и применяется формула . В случае кубических корней и числитель и знаменатель дроби умножаются на неполный квадрат суммы или разности и применяется формула . |
|
3. |
3.1. Неопределенность вида , получающаяся в результате алгебраической суммы иррациональных выражений, устраняется или приводится к типу 1 путем домножения и деления на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения. В случае квадратных корней разность домножается на сопряженное выражение и применяется формула . В случае кубических корней функция домножается на неполный квадрат суммы или разности и применяется формула . |
3.2. Неопределенность вида , получающаяся в результате алгебраической суммы двух дробей, устраняется или сводится к типу 2 путем приведения дробей к общему знаменателю.
Пусть
Тогда
|
|
4. Замечатель-ные пределы |
4.1. Первый замечательный предел (неопределенность ). В случае, когда под знаком предела стоят тригонометрические функции, дающие неопределенность , используется первый замечательный предел:
Его различные формы:
|
4.2. Второй замечательный предел (неопределенность ):
Его
различные формы:
|
|
5. |
5.1. Неопределенность типа
сводится либо к
неопределенности типа 1
Тогда
|
6. , |
6.1. Неопределенности вида , сводятся к неопределенности типа 5 путем логарифмирования. |
и перейти к пределу. Если и после этого
числитель и знаменатель новой дроби
имеют пределы, равные нулю при
,
то надо произвести повторное деление
на
.
,
.
.
,
,
,
,
,
,
.
.
,
,
,
,
.
,
либо к неопределенности типа 2
путем перемещения в знаменатель одного
из сомножителей. Пусть
,
.
Замечание.
Применение замечательных
пределов требует понимания и запоминания
структуры каждого из них и при необходимости
ее воспроизведения. Так, для предела
характерно отношение синуса бесконечно
малого угла к самому углу. Поэтому всякий
предел вида
равен 1, если
.
Например, каждый из пределов
,
,
есть, в сущности, первый замечательный
предел и потому равен 1, чего нельзя
сказать ни об одном из пределов
,
,
.
Для предела
(е
- иррациональное число е=2,7182818…)
характерно, что сумма, равная единице
плюс бесконечно малая, возводится в
степень, обратную этой бесконечно малой.
Следовательно, если
,
то и
.
Такова структура каждого из пределов
,
,
,
и поэтому все они равны e,
но структура пределов
,
,
отлична от структуры второго замечательного
предела.
Подобные рассуждения справедливы и для других форм замечательных пределов.