Лабораторная работа 3

УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ. ВЛИЯНИЕ ПАРАМЕТРОВ

На устойчивость систем

Цель работы: знакомство с понятием и основной теоремой устой­чи­вости линейных систем, с методом Д-разбиения, оценивающим влияние пара­метров на устойчивость и экспериментальное определение границ Д-раз­би­ения.

3.1. Основные сведения

Под устойчивостью, или (более корректно) под устойчивостью процессов управления, понимается работоспособность, т. е. способность системы в принципе отрабатывать входные воздействия. Для исследования свойств устойчивости вводится в рассмотрение ошибка

, (3.1)

где x(t) – входное (задающее) воздействие; y(t) – выходная переменная.

Требованием соблюдения устойчивости является выполнение в переходном режиме условия:

. (3.2)

Линейная система в разомкнутом состоянии описывается передаточной функцией:

, (3.3)

где R(s) и Q(s) – полиномы степеней m и n соответственно (n m).

Устойчивость оценивается для замкнутых систем и для них справедливо выражение

(3.4)

или в полиномиальной форме –

. (3.5)

В формуле (3.5) выражение D(s) называют характеристическим полиномом замкнутой системы, который, как и Q(s), имеет степень, равную n и записывается в виде:

. (3.6)

В развернутой форме

, (3.7)

где – коэффициенты характеристического полинома.

(Напомним, что являются также и параметрами левой части дифференциального уравнения, описывающего процессы в замкнутой системе.)

Характеристическое уравнение записывается в виде:

(3.8)

или

. (3.9)

В теории управления доказана основная теорема устойчивости, в соответствии с которой для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического уравнения (3.9) имели бы отрицательные вещественные части [3, 4].

Аналитически условия теоремы соответствуют выполнению неравенств:

(3.10)

В выражении (3.10) корни s_i являются корнями уравнения (3.8), поэтому справедливо выполнение тождеств:

(3.11)

Заметим, что s_i также называют полюсами передаточной функции Ф(s) замкнутой системы.

Существует и другая формулировка основной теоремы [3, 4]. Для этого вводится в рассмотрение комплексная плоскость корней. Система устойчива при условии, если все ее корни располагаются в левой полуплоскости. Попадание хотя бы одного корня в правую полуплоскость означает неустойчивость системы управления (расходящийся характер переходных процессов). Мнимая ось в общем случае является колебательной границей устойчивости и при нахождении на ней хотя бы одной пары мнимых корней в переходном режиме устанавливаются незатухающие колебания. Начало координат соответствует апериодической границе устойчивости.

Естественно, что если в уравнении (3.9) изменить численное значение хотя бы одного из коэффициентов a_i, то корни s_i будут другими и возможно нарушение условия устойчивости (3.10). Наиболее распространенными методами анализа влияния параметров на расположение корней, а следовательно, и на устойчивость являются корневой годограф [3] и Д-раз­биение [3, 4].

В методе Д-разбиения пространство параметров разделяется на подобласти с одинаковым числом корней в левой и правой полуплоскостях. Рассмотрим Д-метод на примере системы третьего порядка и проанализируем влияние двух параметров A и B на ее устойчивость.

Допустим, что характеристическое уравнение можно записать в виде:

(3.12)

Изменим параметры A и B так, что один или два корня полинома будут перемещаться из левой полуплоскости в правую, поэтому при некоторой они обязательно попадут на мнимую ось, т.е. .

Подставляя в выражение (3.12), получим для определения Д-границы или Д-кривой следующее уравнение:

(3.13)

Левая часть выражения (3.13) представляет собой комплексную функцию, поэтому должны равняться нулю вещественная и мнимая части:

(3.14)

Система (3.14) получена из условия, что комплексные переменные представлены в виде:

(3.15)

При некоторой фиксированной частоте ω = ω₀ каждое из уравнений сис­темы (3.14) в плоскости параметров представляет собой (описывает) прямую линию, как показано на рис. 3.1, а. Решению должна удовлетворять точка пересечения прямых С, которая и является точкой Д-кривой при ω = ω₀. Для построения всей границы необходимо изменить частоту от до .

а б Рис. 3.1. Виды границ Д-разбиения

На Д-кривую наносят двойную штриховку, так как она соответствует переходу через мнимую ось двух корней. Если прямые на рис. 3.1, а совпадают (система не имеет решения), то они образуют особую прямую, вид которой приведен на рис. 3.1, б. Штриховка наносится одинарная, так как особая прямая соответствует апериодической границе устойчивости s = 0 и переходу только одного корня.

Полученные области подписывают. Например, для системы n-го порядка обозначение означает, что l корней находится в левой, а m корней – в правой, причем n = l + m.

Рассмотрим систему третьего порядка

. (3.16)

Передаточная функция замкнутой системы будет иметь вид:

, (3.17)

характеристическое уравнение –

(3.18)

или в развернутой форме

. (3.19)

Допустим, что в качестве параметров А и В выбраны коэффициент передачи разомкнутой системы k и постоянная времени Т.

Уравнение (3.12) имеет вид:

. (3.20)

Заметим, что выражение (3.19) является частным случаем формулы (3.9), когда выполняется:

,

а для уравнений (3.20) и (3.12) справедливо:

.

При фиксированных Т₁ и Т₂, используя рассмотренную методику, можно построить кривую Д-разбиения, но выражение (3.20) достаточно сложное, поэтому приведем на рис. 3.2 качественный вид Д-кривой. Особые прямые можно получить из необходимых условий устойчивости, т.е. и , поэтому они описываются уравнениями:

(3.21)

В

Рис. 3.2. Д-разбиение для системы третьего порядка

лабораторной работе предлагается кривую Д-разбиения получить экспериментально путем перебора значений k и Т.

При этом нахождению на Д-кривой соответствует незатухающий переходный процесс или запас устойчивости по фазе , если использовать логарифмические характеристики.