§ 5. Представление деревьев в памяти.

Кроме деревьев и ордеревьев изучаются также упорядоченные деревья.

О



пределение. Расстояние от корня ордерева до вершины х называется уровнем этой вершины

(номером яруса )

1

2

3

4

Максимальный из уровней вершин называют глубиной дерева ( высотой дерева ).

Если на каждом уровне множество вершин упорядоченно, то ордерево называют упорядоченным

Пример. Один и тот же граф, но разные упорядоченные ордеревья.

Пример. Сколько существует а) ордеревьев; б) упорядоченных ордеревьев; в) деревьев

с четырьмя вершинами?

а)

Линейное 4 шт.

ордерево

б)

5 шт.

в )

2 шт.

Опр.Если каждая вершина ордерева имеет не более двух потомков, то ордерево называется бинарным.

бинарное небинарное ( тринарное)

Для бинарного ордерева имеют смысл понятия левого и правого потомка.

Сопоставим корню бинарного ордерева пустое множество, а его потомкам – 0 и 1.

Левому потомку корня присвоим 0, а правому 1. Потомкам 0 присвоим 00 01, а потомкам 1 присвоим 10 и 11 и т.д.

Пример

0 1

00 01 11

010 110 111

Определение. Множество двоичных строк соответствующих висячим вершинам называют префиксным кодом бинарного ордерева.

Для приведенного примера префиксный код таков: { 00, 010, 110,111 }

Префиксный код определяет ордерево однозначно.

Пример. Восстановить ордерево по префиксному коду

{ 000, 0010, 0011, 01, 100, 1, 010, 11 }

Из кода видно, что дерево имеет четыре уровня.

1 0 1

2 00 01 10 11

3

000 001 100 101

4 0010 0011 1010

Д ля небинарных деревьев возможно использование троичной системы и т.д., но это плохо совместимо с памятью компьютера.

Другой подход к кодированию деревьев это так называемый

Код Прюфера.

Рассмотрим дерево ( или ордерево) с n – произвольно пронумерованными вершинами. Действуем по циклическому алгоритму из n-2 шагов: в списке 1,2,3,…,n слева направо ищем первую висячую вершину. Пусть это а_к , ищем с какой вершиной она смежна, пусть это b_к, тогда вершину b_к заносим в новый список будущий код Прюфера, а вершину а_к удаляем и из дерева , и из списка. В конце получим список {b₁,b₂,…,b_n-2 }- код Прюфера

Пример: Построить код Прюфера для дерева

7

2



1

 

8

4

 

3 5 6

  

Во-первых, n =8  n-2=6 – в коде Прюфера будет 6 чисел.

Идя по списку всех вершин

1, 2, 3,4,5,6,7,8

по алгоритму строим код Прюфера:

{7,4,4,4,2,2}

Теорема. Код Прюфера однозначно определяет дерево, ордерево вместе с нумерацией вершин.

Пример: Восстановить ордерево по коду Прюфера {2,3,5,6,8,6,3}

Видим сразу, что n–2 =7  n=9 , в ордереве будет 9 вершин

Идя по списку всех вершин

1, 2, 3,4,5,6,7,8 ,9

и используя понятие неприкосновенной вершины, мы восстанавливаем дерево.

Легко проверить, что у построенного дерева именно такой код Прюфера,

как заданный в условии.

Замечание. Код Прюфера является оптимальным по объему памяти способом кодирования деревьев (любых, а не бинарных).