§18.Закон сохранения механической энергии.

Определение:Механической энергией, или полной механической энергией, называется энергия механического движения и взаимодействия.

Механическая энергия системы материальных точек равна сумме их кинетических энергий и потенциальных энергий взаимодействия этих точек друг с другом и с внешними телами.

Формулировка закона сохранения механической энергии:

При движении консервативной системы её полная механическая энергия не изменяется.

Закон сохранения механической энергии связан с однородностью времени. Это свойство времени проявляется в том,. что законы движения замкнутой системы, находящейся во внешнем поле не зависят от выбора начала отсчёта времени.

Действие диссипативных сил, например, силы трения, приводит к постепенному уменьшению механической энергии замкнутой системы. Этот процесс называется диссипацией энергии.

Определение:Диссипативной называется система, механическая энергия которой непрерывно уменьшается с течением времени.

При диссипации происходит преобразование механической энергии системы в другие виды энергии, что полностью соответствует всеобщему закону сохранения энергии. Вообще говоря, в природе не существует консервативных систем. В любой механической системе найдётся хотя бы одна сила диссипативной природы. Но если в какой-либо системе диссипативные силы малы по сравнению с потенциальными, то её можно считать консервативной системой, и для неё закон сохранения механической энергии выполним в течении достаточно длительного промежутка времени. Такую систему называют квазиконсервативной.

Критерием квазиконсервативности механической системы служит неравенство:

или,

где W₀начальная полная механическая энергия системы,изменение полной механической энергии, происшедшее за счёт работы диссипативных сил.

Определение: Состоянием механического равновесия системы называется такое состояние, из которого она может быть выведена только в результате внешнего воздействия.

В этом состоянии все материальные точки системы находятся в покое, так что их кинетические энергии равны нулю.

Определение:Состояние механического равновесия называется устойчивым, если малое внешнее воздействие на систему вызывает малое изменение её состояния.

Определение:Состояние механического равновесия называется устойчивым, если система при сколь угодно малом внешнем воздействии выходит из этого состояния и больше не возвращается в него.

При этом возникают силы, вызывающие дальнейшее движение системы от данного состояния.

Рассмотрим для примера материальную точку (частицу), движущуюся вдоль оси Ох в потенциальном поле, показанном на рис. Поскольку в од­нородном поле сил тяжести, потенциальная энергия пропорциональна вы­соте подъема тела, можно представить себе ледяную горку (пренебрегаем трением) с профилем, соответствующим функции U(x) на рисунке.

Из закона сохранения энергии Е = Т+ U и из факта, что кинетическая энергия Т = Е — U всегда неотрицательна, следует, что частица может находиться лишь в областях, где Е > U. На рисунке частица с полной энергией Е может двигаться только в области x>0.

В первой области  0 < x < x_max  движение будет ограничено (финитно): при дан­ном запасе полной энергии частица не может преодолеть "горки" (x = 0 и x = x_max) на своем пути (их называют потенциальными барьерами) и обречена вечно оста­ваться в "долине" между ними (Вечно — с точки зрения классической механики, которую мы сейчас изучаем. В конце курса мы увидим, как квантовая механика помогает частице выбраться из заточения в потен­циальной яме).

Во второй области  x > x_max  движение частицы не ограничено (инфинитно), она может удалиться бесконечно далеко от начала координат направо, слева ее движение по-прежнему ограничено потенциальным барьером:

В точках экстремума потенциальной энергии x_max и x_min , сила, дей­ствующая на частицу, равна нулю, потому что равна нулю производная потенциальной энергии: U ^‘(x) = 0.

Если поместить в эти точки покоящуюся частицу, то она оставалась бы там ... опять-таки вечно, если бы не флуктуации ее положения. В этом мире нет ничего строго покоящегося, частица может испытывать неболь­шие отклонения (флуктуации) от положения равновесия. При этом, есте­ственно, возникают силы. Если они возвращают частицу к положению равновесия, то такое равновесие называется устойчивым. Если же при отклонении частицы возникающие силы еще дальше уводят ее от рав­новесного положения, то мы имеем дело с неустойчивым равновесием, и частица в таком положении обычно долго не задерживается. По аналогии с ледяной горкой можно догадаться, что устойчивым будет положение в минимуме потенциальной энергии, а неустойчивым — в максимуме. Следовательно, для определения координат устойчивого положения равновесия необходимо ещё знание о вогнутости (выпуклости) графика функции потенциальной энергии. Из анализа известно, что функция на определённом интервале значений имеет вогнутость, если её вторая производная больше нуля. Отсюда, выводятся необходимые и достаточные условия наличия у частицы (тела), находящейся во внешнем потенциальном поле, устойчивого положения равновесия:

, x₀  координата положения устойчивого равновесия частицы.