Министерство образования РФ

Рязанская государственная радиотехническая академия

Кафедра ОиЭФ

Лабораторная работа № 1-5

«ИССЛЕДОВАНИЕ ПРЕЦЕССИИ СВОБОДНОГО ГИРОСКОПА»

Выполнил ст. гр. 255

Ампилогов Н. В.

Проверил

Малютин А. Е.

Рязань 2002

Цель работы: изучение устройства и движения гироскопа под действием момента внешних сил; определение частоты оборотов ротора и момента сил трения в его подшипниках.

Приборы и принадлежности: гироскоп кардановый подвес, набор сменных грузов, секундомер, стробоскоп частотомер.

Элементы теории

Гироскоп это – симметричное быстро вращающееся твёрдое тел, ось которого может изменять своё положение в пространстве. Для того, что бы гироскоп свободно мог изменять положение своей оси в пространстве, его закрепляют на кардановом подвесе. Подобный способ крепления гироскопа схематично изображен с помощью векторной схемы на рис.1. Где аа – вертикальная ось вращения; бб – горизонтальная ось вращения; вв – ось вращения самого гироскопа; O – центр масс гироскопа. Из рисунка видно, что при повороте вокруг любой оси гироскоп сохраняет своё положение в пространстве (т.к. в точке все три оси вращения пересекаются в точке O). Такой гироскоп называется свободным.

Движение гироскопа описывается уравнением:

1. , где - момент импульса гироскопа относительно точки пересечения осей; - момент внешних сил относительно точки O.

Дальнейшие выводы будут делаться непосредственно с использованием векторной схемы приведённой на рис.1.

Пусть дано: M = 0, а ₀ - угловая скорость вращения гироскопа. Тогда L  J₀₀ = const, где J₀ – момент инерции гироскопа относительно оси вращения вв. Теперь если к оси гироскопа приложить внешнюю силу , то возникнет момент силы , лежащий в горизонтальной плоскости. Из выражения (1) следует, что векторы и ортогональны. За промежуток времени dt вектор получает приращение , направленное так же, как и вектор , поэтому сила заставляет описывать гироскоп окружность в горизонтальной плоскости, не изменяя при этом величину .

Проекция вектора на горизонтальную плоскость за время dt повернётся на угол d, причём:

2. dL = Lsind,

учитывая (1), выражение (2) можно переписать так:

3. Lsind = Mdt, где  - угол, который вектор составляет с вертикалью.

Если учесть, что угловую скорость вращения вектора вокруг оси аа находится по формуле , то из (3) можно выразить :

4. .

В векторной форме выражение (4) записывается следующим образом:

5. .

Таким образом, на основании (5) можно утверждать, что под действием момента внешних сил ось гироскопа вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью , описывая в пространстве конус. Так как, вектор не меняет своего положения относительно вектора с течением времени, то вращение оси гироскопа при постоянной силе является равномерным. Такое вращение называется регулярной прецессией гироскопа, а  - угловой скоростью прецессии.

Если ось гироскопа расположена горизонтально (рис. 2), то уравнение (2) примет вид:

6. 

   

   Рис. 2

   .

Следует иметь в виду, что все приведённые рассуждения справедливы лишь для быстро вращающегося гироскопа, т.е. при

7. ₀ >> .

Тогда можно считать, что L  J₀₀, где J₀ – момент инерции гироскопа относительно его собственной оси вращения; ₀ – угловая скорость данного вращения. Тогда выражение (4) примет вид:

8. .

При  = /2, получаем

9. .

При изучении прецессии гироскопов подобных конструкций следует учитывать силы возникающие в гироскопических подшипниках. Несмотря на то, что данные силы весьма молы, они приводят к усложнению прецессии. Именно из-за их действия ось ротора гироскопа при его вращении медленно наклоняется.

В данной работе требуется определить частоту оборотов ротора гироскопа по его регулярной прецессии и рассчитать момент сил трения в его подшипниках.

Из (9) следует, что:

10. , где M – момент внешних сил, задаваемый неким грузом P; M = pl = mgl; J₀ - момент инерции ротора;  - угловая скорость прецессии; l – плечо момента силы M; p – сила тяжести груза P, создающего момент M.

При M =const, угловая скорость прецессии  тоже будет постоянной и её можно найти измеряя время совершения ротором N-ого числа оборотов:

10. .

Частота вращения ротора равна:

10. .

Сняв груз P и измерив время с момента выключения питания мотора до его полной остановки, т.е. время выбега t_в, можно, применив (1), найти момент сил трения в подшипниках ротора:

10. .

Расчётная часть

Физ. Величины	Опыты
	1	2	3
Исходные данные
m (масса груза P), кг	0,32
L (плечо силы), м	5,510-2
J0 (момент инерции ротора гироскопа), кгм2	3810-3
Опытные данные
N (число оборотов оси гироскопа)	2
t (время прецессии), с	270	250	265
tв(время выбега), с	450	451	455
ni (число оборотов ротора в минуту), об/мин	932,4	863,4	915
Mтрi (момент сил трения в подшипниках), Нм  10-3	8,24	7,61	8

Последовательно найдём искомые величины, рассматривая экспериментальные данные 1-ого опыта.

Найдём число оборотов ротора гироскопа в минуту (n). Для этого по формуле (12) рассчитаем частоту оборотов ротора (n₀).

Гц.

При n₀₁ = 15,54 Гц., n₁ = 932,4 об/мин.

По формуле (13) найдём момент сил трения в подшипниках карданового подвеса гироскопа.

Нм.

Аналогично найдём значения n_i и M_трi для опытов 2 и 3.

К опыту 2:

Гц. n₂ = 863,4 об/мин.

Нм.

К опыту 3:

Гц. n₁₃ = 915 об/мин.

Нм.

Найдём действительные значения величин и , как средние арифметические значения соответствующих величин (n_i и M_i).

; об/мин.

; Нм.

Найдём абсолютные погрешности вычисления данных величин ( и ).

Так как, данные действительные значения величин найдены от i-ого значения аналогичных косвенных величин, то абсолютные погрешности данных величин целесообразно искать по соответствующим формулам ((12) для n_i и (13) для M_трi), подставляя в них вместо i-тых значений измеряемых величин (t и t_в), действительные значения величин ( и ), найденных прямыми измерениями.

;

Погрешность найдем через дифференциал изображённой выше формулы по dt:

; при t_с = 4,30 (для n = 3).

Для нахождения значения найдём среднеквадратичную погрешность величины t (_t):

, при (число измерений (опытов)) n = 3; k = 1,1 (для P = 0,95), c = 1 с.

Действительное значение найдём, как среднее арифметическое значение от t_i.

; c.

c.

При данном значении _t можно найти .

; ; об/мин.

об/мин.

Аналогичным способом найдём абсолютную погрешность измерения момента сил трения в подшипниках ().

;

Погрешность найдем через дифференциал изображённой выше формулы по dt и по dt_в:

; при t_с = 4,30 (для n = 3).

Для нахождения значения (при известной _t) найдём среднеквадратичную погрешность величины t_в (_tв):

, при (число измерений (опытов)) n = 3; k = 1,1 (для P = 0,95), c = 1 с.

Действительное значение найдём, как среднее арифметическое значение от t_i.

; c.

c.

При данном значении _tв можно найти .

; ; ;

Нм.

Итого:

об/мин.

Нм.

- 6 -