13. Уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла выражают связи между характеристиками электромагнитного поля:

- (9.3.3) , (11.10.2.1); -(11.3); -(9.13.4); -(12.5).

Сформулированы уравнения в 1861-1865 гг. Дж. К. Максвеллом на основе обобщения эмпирических законов электрических и магнитных явлений. Развивая идеи М. Фарадея, Максвелл впервые ввел точный термин "электромагнитное поле".

13.1. Первая пара уравнений Максвелла в интегральной форме

13.1.1. Первое уравнение первой пары - это закон Фарадея-Ленца

S - произвольная поверхность, "натянутая" на контур l. Это уравнение - обобщенная формулировка закона электромагнитной индукции (11.10). В самом деле: , см. (11.9.3), значит в (13.1.1) справа стоит - , как в(11.10.1).

Левую часть уравнения, , домножим и поделим на q - заряд пробной частицы, помещенной в электрическое поле :

Мы получили закон Фарадея-Ленца (11.10.1) :

13.1.2. Второе уравнение первой пары - нет магнитных зарядов

Поток вектора (11.9.3) через произвольную замкнутую поверхность равен нулю. Причина этого - замкнутость линий индукции. Линии индукции замкнуты, т.к. в природе отсутствуют магнитные заряды.

13.2. Вторая пара уравнений Максвелла в интегральной форме

13.2.1. Первое уравнение второй пары - это теорема о циркуляции + что-то еще.

Для вектора теорема о циркуляции (11.5.4) гласит:

.

(11.5.4)

В вакууме:

.

Тогда

,

или

.

При непрерывном распределении тока через поверхность S

,

здесь j - плотность тока (10.2). Тогда имеем

.

Интеграл слева берется по произвольному воображаемому контуру, интеграл справа - по произвольной поверхности, "натянутой" на этот контур. В веществе теорема о циркуляции для вектора имеет тот же вид:

,

но при этом в интеграле справа не учитываются микроскопические токи вещества, приводящие к изменению магнитной индукции в веществе (12).

13.2.1.1. + что-то еще - это "ток смещения"

Применим теорему о циркуляции вектора к магнитному полю, созданному переменным электрическим током, перезаряжающим конденсатор.

,

.

См.  (9.4.4.1) ,  (10.1),  (10.2).

На S₂    j = 0,   но    , а по величине,    значит        ?.

Величину Максвелл назвал"током смещения".

Как видно, "ток смещения" - это переменное во времени электрическое поле. Первое уравнение второй пары утверждает, что магнитное поле создается током проводимости и переменным электрическим полем ("током смещения").

13.2.2. Второе уравнение второй пары - это теорема Гаусса для вектора (9.13.4)

,

где q_i - свободные, не связанные заряды.

При непрерывном распределении заряда   

.

13.3. Система уравнений Максвелла в интегральной форме

Первая пара (13.1)

,

.

Вторая пара (13.2)

,

.

13.4. Система уравнений Максвелла в дифференциальной форме

Применяя теорему Стокса можно преобразовать интеграл по замкнутому контуру l в интеграл по поверхности S, натянутой на этот контур.

Теорема Остроградского-Гаусса позволяет преобразовать интеграл по замкнутой поверхности S в интеграл по объему, ограниченному этой поверхностью. Преобразовав левые части уравнений (13.3) можно получить систему Максвелла в дифференциальной форме:

Первая пара:

,

.

Вторая пара:

,

.

Здесь

.

К этим уравнениям необходимо добавить закон Ома в дифференциальной форме и связь с,с:

см. (10.5),

см. (9.13.4),

см. (12.5).

Эти три векторных уравнения характеризуют свойства среды. Семь записанных выше уравнений составляют основу электродинамики покоящихся сред.

110