Математические модели элементарных измерительных сигналов

Дельта – функция рассмотрим теоретическую модель бесконечно короткого импульса с бесконечно большой амплитудой, аналитически определяемого формулой:

Площадь такого импульса всегда равна единице, т.к. .

Функцию называют дельта-функцией, единичным импульсом, функцией Дирака, и она имеет физическую размерность циклической частоты – с ^-1.

При сдвиге дельта-функции по оси времени на интервал определения функции можно записать в общем виде:

, .

Дельта-функция обладает важнейшим свойством, благодаря которому она получила широкое применение в математике, физике, радио – и измерительной технике.

Пусть имеется некоторая непрерывная функция времени . Тогда, согласно вышеприведенным формулам, справедливо соотношение:

Это выражение характеризует фильтрующее (выделяющее, или стробирующее – от слова «строб» - короткий прямоугольный импульс) свойство дельта-функции, которое используется для представления дискретизированных во времени сигналов с шагом дискретизации .

Единичная функция. Предельное, упрощенное аналитическое выражение этого сигнала принято записывать так:

.

Функцию называют единичной функцией, функцией включения или функцией Хевисайда.

Спектральная плотность гармонического сигнала. Определим спектральную плотность сигнала . Подставим в прямое преобразование Фурье заданный сигнал, и, воспользовавшись формулой Эйлера , находим:

=

Последнее соотношение можно записать в следующем виде:

= | | = .

Итак, гармоническому (в данном случае косинусоидальному) сигналу с конечной амплитудой соответствует дискретный спектр, состоящий их двух линий бесконечно большой амплитуды в виде дельта-функций, расположенных симметрично относительно нуля на частотах и . По аналогии с косинусоидальным сигналом нетрудно показать, что синусоидальному сигналу отвечает спектральная плотность

= .

Здесь знак минус – следствие нечетности функции синуса.

Экспоненциальный импульс. Это сигнал с «полубесконечной» длительностью и при единичной амплитуде описывается как , гле - вещественный параметр.

Постоянный сигнал – самый простой из элементарных сигналов (напряжение, ток).

Математические модели сложных измерительных сигналов

Сигналы с линейными участками. В измерительной технике применяют периодические сигналы с линейными участками. Это линейный знакопеременный и однополярный линейно изменяющийся (пилообразный) сигнал.

Рис.1 Линейный знакопеременный сигнал

Линейный знакопеременный сигнал описывается уравнениями:

Модулированные сигналы

В метрологии под модуляцией понимается процесс, при котором измерительный сигнал воздействует на какой-либо параметр некоторого стационарного сигнала , обладающего такой физической природой и таким характером изменения во времени, при которых удобны его дальнейшие преобразования и передача. В качестве стационарного сигнала именуемого несущим, обычно выбирают либо последовательность импульсов, либо синусоидальное (гармоническое) колебание:

где - амплитуда в отсутствии модуляции;

- угловая (круговая) частота;

- начальная фаза;

- полная фаза.

В зависимости от того, какой из параметров гармонического несущего колебания подвергается воздействию, различают амплитудную, частотную, фазовую и ряд видов импульсной модуляции.

Физический процесс, обратный модуляции, называется демодуляции или детектированием, и заключается в получении из модулированного колебания сигнала, пропорционального модулирующему.

Наиболее простым модулированным сигналом является амплитудно-модулированный сигнал, в котором измерительная информация заложена в амплитуду несущего колебания , где - безразмерный коэффициент пропорциональности.

Пусть модулирующий сигнал – гармоническое колебание вида . Тогда, приняв для упрощения , и подставив в формулу для колебания этот сигнал, получим: , где –максимальное отклонение амплитуды АМ – сигнала от амплитуды несущей ; – коэффициент или глубина амплитудной модуляции.

Сигналы с частотной модуляцией.

При частотной модуляции несущая частота связана с модулирующим сигналом зависимостью: , где - размерный коэффициент пропорциональности.

Рассмотрим однотональную частотную модуляцию, когда модулирующим колебанием является гармоническое колебание . Тогда, приняв для упрощения , определим полную фазу ЧМ сигнала в любой момент времени путем интегрирования частоты, выраженной :

где = - максимальное отклонение частоты от значения или девиация частоты при частотной модуляции.

Отношение , являющееся девиацией фазы несущего колебания, называют индексом частотной модуляции.

С учетом этого выражения ЧМ сигнал запишется как

= .

Фазовая модуляция

При однотональной модуляции фаза несущего колебания

где - коэффициент пропорциональности; = - индекс фазовой модуляции.

С учетом этого выражения ФМ сигнал запишется как

= .

Нетрудно заметить, что ЧМ и ФМ сигналы при однотональной модуляции похожи.