Тензор 2-го ранга как линейный оператор в .
Из
определения тензора следует, что он
удовлетворяет аксиомам линейного
оператора, если линейное преобразование
представить в виде скалярного произведения
тензора
на произвольный вектор
,
а результат (вектор
)
рассматривать как образ вектора
,
тогда
,
где А – линейный оператор (3.18)
Из (3.18) получим связь между вариантными координатами векторов в виде:
. (3.19)
Таким
образом, компоненты
тензора
в (3.19) представляют матрицу линейного
оператора в смешанном базисе. Если
преобразование рассматривается в
декартовом базисе, то основной и взаимный
базисы совпадают и
(3.20)
Запись линейного преобразования (3.18) в виде (3.20) совпадает с используемой в линейной алгебре.
Определим
тензор
,
который называется транспонированным
по отношению к
,
следующим условием:
(3.21)
Из (3.21) следует, что умножение транспонированного тензора на произвольный вектор слева приводит к тому же результату, что и умножение исходного тензора на вектор справа. Из определения (3.21) следует, что транспонированный тензор есть сопряжённый оператор по отношению к исходному линейному оператору, представляемому тензором . Непосредственной проверкой доказываются следующие свойства операции транспонирования:
;
.
Рассмотрим операцию альтернирования тензора, которая заключается в представлении тензора суммой следующего вида:
(3.22)
Здесь
- симметричный тензор, определяемый из
условия
(3.23)
-
антисимметричный тензор, определяемый
из условия
(3.24)
Из
определения (3.23) следует, что
,
поэтому базис симметричных тензоров
содержит шесть независимых диад:
.
Из
определения антисимметричного тензора
следует, что
,
тогда его диадное разложение имеет вид:
(3.25)
Множество тензоров, принадлежащих пространству с базисом, удовлетворяющим условиям (3.25), называют внешними формами 2-го порядка, а базисные диады (3.25) обозначают следующим образом:
.
Тогда
.
Обратному оператору в ставится в соответствие обратный тензор, который определяется из условия
,
где
-
тензор, обратный
. (3.26)
Смешанные
компоненты матрицы обратного тензора
получим в результате решения системы
линейных уравнений. Данная система
включает 9 уравнений относительно
компонент
и получается из условия (3.26) в виде
(3.27)
Непосредственной
проверкой убеждаемся, что система (3.27)
не изменяется при изменении тензоров
и
местами, т. е.
.
По
аналогии с ортогональным оператором
вводится ортогональный тензор -
.
Основное свойство данного тензора
состоит в том, что длина векторов
,
получаемых в результате преобразования
,
остаётся неизменной. Поэтому должно
выполняться следующее условие:
(3.28)
Для
выполнения условия (3.28) необходимо и
достаточно, чтобы
.
Таким образом, формально, ортогональным
называется такой тензор, обратный
которому совпадает с транспонированным.
Билинейные и квадратичные формы тензоров.
Рассмотрим выражение, получаемое скалярным умножением тензора на независимые произвольные векторы и соответственно слева и справа. Данное выражение представляется в следующем виде:
(3.29)
Обозначая
линейный оператор, соответствующий
тензору
через
,
правую часть (3.29) представим в форме
(3.30)
Выражение (3.30) определяет билинейную форму оператора . Сравнение (3.30) и (3.29) показывает, что билинейная форма в может быть представлена скалярным произведением тензора 2-го ранга на векторы слева и справа, т. е. в виде (3.29). Данное утверждение является теоремой Рисса-Фишера.
В
общем случае изменение порядка следования
вектор-аргументов изменяет значение
билинейной формы
.
Действительно, из (3.29) и (3.30) следует, что
.
На основании определения билинейной формы можно определить оператор, сопряжённый из условия
или
.
Билинейная форма называется симметричной, если выполняется условие
.
В
этом случае оператор А должен быть
самосопряжённым, обозначим его через
М. Соответствующему симметричному
тензору
ставится в соответствие квадратичная
форма
(3.31)
Симметричный тензор называется положительно определённым, если его квадратичная форма положительно определена. Если квадратичная форма отрицательна, то соответствующий тензор называется отрицательно определённым.