Функция распределения случайной величины
При
статистических исследованиях приходится
рассчитывать вероятности определенных
событий. При этом классическая модель
определения вероятности мало подходит,
поскольку область значений с.в. заранее
не задана, и может меняться в достаточно
широких пределах. Поэтому для расчетов
используют непрерывные случайные
величины. Как уже упоминалось выше, для
описания дискретной случайной величины
достаточно задать вероятность каждого
его значения:
.
Однако в случае случайных величин,
принимающих бесконечное множество
значений, такой подход неприемлем.
Рассмотрим определение функции
распределения с.в., которое обобщает
оба случая:
Функцией распределения
с.в. Х называют функцию
,
определяющую вероятность того, что с.в.
Х в результате испытания примет значение
меньше
,
т.е.
.
Другими словами, распределение числовой
случайной величины – это функция,
которая однозначно определяет вероятность
того, что случайная величина принимает
заданное значение или принадлежит к
некоторому заданному интервалу.
Используемые в вероятностно-статистических
методах принятия решений и других
прикладных исследованиях функции
распределения бывают либо дискретными,
либо непрерывными, либо их комбинациями.
1.
Случайная величина принимает конечное
число значений. Упорядочим значения
с.в. по неубыванию:
.
График функции распределения случайной величины Х выглядит следующим образом:
2. Случайная величина
является непрерывной и принимает
бесконечно много значений. Это возможно
лишь тогда, когда вероятностное
пространство, на котором определена
случайная величина, состоит из бесконечного
числа элементарных событий. Для
непрерывных с.в. бессмысленно задавать
вероятности
,
поскольку они все равны нулю. Поэтому
рассматриваются вероятности
принадлежности значений случайной
величины интервалу
.
Можно показать, что
.
В этом случае мы имеем неубывающую
непрерывную функцию распределения.
Используемые в статистике непрерывные
функции распределения, как правило,
имеют производные. Первая производная
функции распределения
называется функцией плотности вероятности.
По плотности вероятности можно определить
функцию распределения посредством
соотношения
.
Из соотношений
и
следует
.
При этом вероятность
определяется по формуле
.
График плотности
вероятностей называют кривой распределения.
Вероятность
попадания случайной величины в интервал
численно равна площади криволинейной
трапеции, ограниченной сверху графиком
функции
и с основанием
,
т.е. графически вероятность изображается
как площадь под кривой, ограниченной
пределами значений переменной
А вся площадь под кривой распределения равна единице.
Пример 2. Рассмотрим следующую функцию распределения:
где a и b – некоторые числа, a<b. Ниже на рисунке приведен график этой функции
Беря производные, найдем плотность вероятности этой функции распределения:
(в точках x = a и x = b производная функции F(x) не существует). Заданная функция определяет функцию равномерного распределения на отрезке . график плотности этой случайной величины приведен на рисунке
