14. Приближение Пуассона

Если одно из событий А или является редким (т.е. p или q достаточно малы), то вычисления по формуле Бернулли становятся особо трудоёмкими, а формулы Лапласа неприменимыми. В таких ситуациях используют приближённую формулу Пуассона: , где – среднее число наступления события А в серии испытаний.

Вероятность попадания числа произошедших событий в промежуток вычисляется по формуле: .

Для применения формулы Пуассона не требуется знать n и p, достаточно знать среднее число наступления событий.

Погрешность вычислений по формуле Пуассона не превышает np².

Пример:

Примечание: если q мало, то формула Пуассона применяется к событию , учитывая, что события А и являются противоположными.

Глава 4: Цепи Маркова и случайные процессы

Глава 5: Случайные величины

Использование случайных величин для описания случайных явлений является несколько более сложным средством по сравнению с событиями, но они позволяют проводить более глубокий анализ таких явлений. Случайная величина в результате испытания принимает одно из возможных своих числовых значений. Вероятности, с которыми случайная величина принимает те или иные значения или попадает в какой-либо интервал, описываются посредством закона распределения (который может быть задан различными способами).

Понятие случайной величины

Случайная величина – это величина, которая в результате испытания принимает одно из своих возможных числовых значений случайным образом.

Случайные величины обозначаются прописными латинскими буквами, а значения случайных величин соответствующими строчными буквами (при необходимости с индексами).

Примеры:

1. число очков, выпавших на игральной кости;

2. число девочек в семье с тремя детьми;

3. напряжение в электросети в данный момент времени;

4. дальность прыжка с места.

Вероятности, с которыми случайная величина принимает те или иные значения, описываются посредством закона распределения. Существует несколько форм представления этого закона. Наиболее общим способом задания закона распределения является функция распределения.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция, значения которой равны вероятности того, что случайная величина принимает значение, меньшее аргумента: .

Свойства функции распределения:

1. функция распределения является неубывающей функцией;

2. при неограниченном уменьшении аргумента значение функции распределения стремится (равно) нулю;

3. при неограниченном увеличении аргумента значение функции распределения стремится (равно) единице;

4. значения функции распределения лежат в промежутке от 0 до 1;

5. – вероятность попадания случайной величины в полуинтервал.

Случайные величины бывают двух видов: дискретные и непрерывные. Отличить их друг от друга можно по графику функции распределения: график функции распределения дискретной случайной величины ступенчатый, а непрерывной – непрерывный или кусочно-непрерывный, но неступенчатый.

Примечание: в зависимости от решаемых задач удобно пользоваться той или иной формой записи закона распределения. Функция распределения является универсальным способом записи закона распределения, для дискретных случайных величин основной формой задания закона распределения является ряд распределения, а для непрерывной – плотность вероятности. При необходимости можно переходить от одной формы записи закона распределения к другой и наоборот.