8. Вероятность произведения событий

Вероятность произведения событий – вероятность одновременного наступления этих событий. Формулу для вычисления вероятности произведения событий можно получить из формулы условной вероятности.

_{Вероятность произведения событий} равна произведению вероятности одного из событий при условии другого на вероятность этого условия: _{или .}

_{Полученную формулу можно обобщить на произвольное число событий:}

_{– для трёх событий;}

_{– для произвольного числа событий.}

Выбирать, какое событие взять в качестве условия, а для какого искать условную вероятность, можно в произвольном порядке, наиболее удобным для вычисления способом является выбор в качестве условий событий, происходящих хронологически раньше в том же испытании.

Если события, вероятность произведения которых нужно вычислить, не зависят друг от друга, то рассмотренные формулы можно существенно упростить.

Вероятность произведения любого числа независимых событий равна произведению вероятностей событий-множителей:

_{– для двух независимых событий;}

_{– для трёх независимых событий;}

_{– для произвольного числа независимых событий.}

9. Вероятность суммы событий

Вероятность суммы событий – вероятность наступления в испытании хотя бы одного из этих событий. Формула для вычисления вероятности суммы событий можно получить из рассмотрения суммы событий на основе любого из определений вероятности.

_{Вероятность суммы событий} равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: _.

_{Полученную формулу можно обобщить на большее число слагаемых. Для трёх событий эта формула имеет вид: .}

_{Для произвольного числа событий эта формула строится следующим образом. Находится сумма вероятностей всех событий-слагаемых, из неё вычитаются вероятности всех возможных пар событий, прибавляются вероятности всех троек, вычитаются вероятности всех четрвёрок и т.д. Знак «+» ставится там, где участвует нечётное число событий, а «–» – там, где фигурирует чётное число событий.}

_{Если события, вероятность суммы которых нужно вычислить, являются попарно несовместными, то рассмотренные формулы можно существенно упростить.}

_{Вероятность суммы любого числа несовместных событий равна сумме вероятностей событий-слагаемых:}

_{– для двух несовместных событий;}

_{– для трёх попарно несовместных событий;}

_{– для произвольного числа попарно несовместных событий.}

10. Формула полной вероятности. Формула Байеса

При вычислении вероятностей событий на практике часто встречается ситуация, когда некоторое событие может наступить только одновременно (или является следствием) одного из нескольких попарно несовместных событий. Эти события по отношению к рассматриваемому принято называть гипотезами.

Обозначения: А – рассматриваемое событие, Н₁, Н₂, …, Н_n – гипотезы (попарно несовместные события, только при наступлении одного из которых может наступить событие А).

Примерами таких ситуаций являются следующие:

1. рассматриваемым событием является достижение цели, гипотезы – выбор того или иного пути достижения цели;

2. рассматриваемым событием является производство бракованной (или обладающей иной характеристикой) продукции, гипотезы – производство продукции определённым производителем;

3. рассматриваемое событие – выбор объекта, обладающего определёнными свойствами, гипотезы – выбор источника, из которого извлекается объект.

_{Формула полной вероятности позволяет определить вероятность интересующего события}: _{– полная вероятность события равна сумме произведений условных вероятностей события по каждой из гипотез на вероятности соответствующих гипотез.}

_{Если нам известно, что рассматриваемое событие произошло, и требуется узнать вероятность того, что событие стало следствием какой-либо конкретной гипотезы, то для этих целей применяется формула Байеса.}

_{Это задачи, результатами которых являются:}

1. вероятность достижения цели определённым путём при условии, что цель достигнута;

2. вероятность производства бракованной продукции определённым производителем;

3. вероятность того, что выбранный объект с определёнными свойствами, взят из конкретного источника.

Формула Байеса имеет вид: – вероятность того, что рассматриваемое событие произошло в следствие гипотезы Н_k, равна отношению произведения условной вероятности события при условии рассматриваемой гипотезы на вероятность этой гипотезы к вероятности рассматриваемого события, вычисленной по формуле полной вероятности.