5. Свойства вероятности

На основе любого из определений вероятности или понятия вероятности можно получить следующие свойства, которыми обладают вероятности событий.

_1.

_{Вероятность достоверного события равна единице.}

_{Если вероятность события равна единице, то оно достоверное.}

_2.

Вероятность невозможного события равна нулю.

Если вероятность события равна нулю, то оно невозможное.

3.

Вероятность любого события лежит в промежутке от 0 до 1, за пределы этого промежутка вероятность попасть не может.

4. Вероятность более общего события не меньше вероятности его частного случая.

_5.

_{Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.}

6. Вероятностные схемы

Для исключения логических противоречий и многовариантности смыслов слов естественного языка, обращаются к формализации используемых понятий. Формализацией понятия «испытание» является понятие вероятностной схемы.

_{Вероятностная схема} – это структура вида _{, где:}

_{(пространством элементарных событий) – это некоторое множество, его элементы носят название элементарных событий.}

_S (множество событий) – система подмножеств множества _{, подчиняющееся требованиям:}

1. Объединение любого числа множеств из системы S принадлежит этой системе.

2. Дополнение любого множества из системы S до множества _{принадлежит этой системе.}

P(A) (вероятность) – функция, определённая на множестве S , подчиняющаяся требованиям:

3. Функция определена для любого множества из системы S и неотрицательна.

4. Значение функции для объединения любого числа попарно непересекающихся множеств из системы S равно сумме значений функции для каждого из объединяемых множеств.

5. Значение функции для множества _{равно 1.}

Требования 1–5 называют аксиомами теории вероятностей. Каждому испытанию соответствует некоторая вероятностная схема и её анализ позволяет получать сведения об испытании и его исходах. Предметом теории вероятностей является изучение всевозможных вероятностных схем.

Глава 2: Вероятности сложных событий

Получения вероятности сложного события выполняется посредством рассмотрения сложного события в виде комбинации более простых событий, вероятности которых относительно просто вычислить. Сложное событие выражается через простые в виде композиции операций суммы и произведения событий.

7. Условная вероятность. Независимые события

Простейшим видом взаимосвязи между событиями является причинно-следственная связь, когда одно наступление одного события влечёт либо исключает появление другого события. В общем случае между событиями может иметься некоторая зависимость, когда наступление одного события меняет вероятность появления другого.

Условной вероятностью события А при условии В называется вероятность события А при условии, что событие В произошло (обозначение P(A/B)).

_{Кроме непосредственного использования определения, для вычисления условной вероятности} можно использовать формулу: _{– условная вероятность события А при условии В равна отношению вероятности одновременного появления событий к вероятности условия.}

_{Пример:}

_{А – выпадение числа очков большего трёх;}

_{В – выпадение чётного числа очков;}

_{, , ,}

_{– вероятность выпадения числа очков больших трёх при условии, что на игральной кости выпало чётное число очков.}

_{Если вероятность события А не меняется в зависимости от того произошло событие В или нет, то говорят что событие А не зависит от события В:}

_{Свойство независимости событий является взаимным, поэтому обычно говорят о независимых событиях.}

_{Пример:}

_{А – выпадение числа очков большего четырёх;}

_{В – выпадение чётного числа очков;}

_{, , ,}

_{– вероятность выпадения числа очков большего четырёх при условии, что на игральной кости выпало чётное число очков.}

_{– вероятность выпадения чётного числа очков при условии, что на игральной кости выпало больше четырёх очков.}

Примечание: понятие условной вероятности может быть связано как с изменением условий проведения испытания (приводящим к наступлению условия), так и с изменением знаний об этом результате (когда нам известно часть сведений о результате проведённого испытания).