Часть 1: Теория вероятностей

Глава 1: События и их вероятности

Ситуации, в которых проявляются случайные явления, носят название испытаний. Результаты, которые могут при этом появиться, называются событиями. Среди событий особое место занимают элементарные события. Это конкретный результат испытания (отличный от других возможных результатов), по которому можно судить о том, какие события произошли, а какие нет. Количественной мерой шанса на наступление события в результате испытания является вероятность.

1. Понятие события

Испытание (эксперимент, опыт) – ситуация, результат которой, под действием случайных факторов, может оказаться различным.

Примеры: бросание игральной кости (шестизначного кубика), сдача экзамена, подбрасывание монеты, прыжок в длину.

Событие – некоторый результат проведённого испытания.

Примеры: выпадение составного числа очков, сдача экзамена на отлично, выпадение герба.

До проведения испытания мы можем сказать только о шансах на наступление события, а после проведения – произошло событие или нет. Именно с тем происходит или нет событие связана их классификация.

События принято обозначать прописными латинскими буквами. При этом однотипные события принято обозначать одинаковыми буквами с различными индексами.

Примеры: А, В, С₁, С₂.

Далее будем рассматривать все понятия на примере испытания «бросание игральной кости», т.к. этот пример достаточно прост и позволяет продемонстрировать все вводимые понятия.

Рассмотрим основные классы событий и групп событий, которые применяются при анализе случайных явлений.

Достоверное событие – событие, которое всегда происходит в результате испытания (обозначение U).

Пример: выпадение положительного числа очков на игральной кости.

Невозможное событие – событие, которое никогда не происходит в результате испытания (обозначение V).

Пример: выпадение семи очков на игральной кости.

Случайное событие – событие, которое может как наступить, так и не наступить в результате испытания.

Пример: выпадение простого числа очков на игральной кости.

Примечание: понятие «одновременно» в рамках теории вероятностей обозначает не одновременность событий во времени, а о событиях, происходящих при проведении одного испытания (возможно не одновременно во времени).

Совместные события – события, которые могут произойти одновременно в результате испытания.

Пример: выпадение чётного числа очков и выпадение простого числа очков при бросании игральной кости.

Несовместные события – события, которые не могут произойти одновременно в результате испытания.

Пример: выпадение простого числа очков и выпадение составного числа очков на игральной кости.

Противоположные события – пара событий, из которых в результате испытания происходит ровно одно.

Пример: выпадение чётного числа очков и выпадение нечётного числа очков на игральной кости.

Обозначение: если событие обозначено А, то противоположное ему событие обозначается .

Полная система событий – набор событий, из которых в результате испытания происходит хотя бы одно событие.

Пример: выпадение нечётного числа очков, выпадение простого числа очков и выпадение составного числа очков на игральной кости.

Полная система несовместных событий – набор событий, из которых в результате испытания происходит ровно одно.

Противоположные события представляют собой пару, образующую полную систему несовместных событий.

Событие А называют частным случаем события В, если событие В происходит всегда, когда происходит событие А. Иначе это можно сформулировать так: событие А благоприятствует событию В.