Часть 2: математическая статистика

Статистика занимается разработкой и применением статистических методов обработки данных о массовых явлениях. На основании полученных экспериментальных данных статистика решает следующие основные задачи:

1. определяет общий вид закона распределения случайной величины;

2. оценивает вероятности событий;

3. оценивает параметры распределения случайной величины при известной или неизвестной форме закона распределения.

Глава8: Статистическая обработка данных

При исследовании массовых явлений исследуемые объекты можно рассматривать двояко:

1. как объекты, обладающие некоторыми характеристиками;

2. как значения случайной величины.

Первый подход используется при практическом применении статистики и интерпретации полученных сведений. Второй подход используется при разработке и изучении методов статистической обработки данных.

Понятие статистического исследования

Всё множество объектов, которые необходимо изучить в рамках поставленной исследовательской задаче, называют генеральной совокупностью (в теории этому понятию соответствует исследуемая случайная величина).

Если исследовать каждый объект генеральной совокупности, то мы получим точные сведения относительно вида закона распределения и всех параметров этого распределения случайной величины. Это исследование носит название сплошного.

Пример: перепись населения является сплошным исследованием людей, находящихся на территории данной страны.

Проведению сплошных исследований препятствует ряд факторов. Сплошное исследование, как правило, требует большого количества ресурсов, что не позволяет его провести с соблюдением методики, а значит и с достаточной точностью (проведение переписи населения небольшим социологическим центром). Не все объекты генеральной совокупности доступны для исследования (нельзя взвесить зёрна, которые уже смололи в муку, и зёрна, которые вырастут в следующем году). Полученные в результате сплошного исследования данные теряют актуальность вследствие того, что процесс исследования портит объект исследования (сплошное исследование партии ламп на среднее время работы приведёт к тому, что все лампы перегорят).

Избежать указанных трудностей позволяет использование выборочного метода, когда исследуется не вся генеральная совокупность, а только её часть. Множество объектов генеральной совокупности, отобранное для исследования, называется выборкой. Количество выбранных объектов носит название объём выборки (обозначение: n)

Для того, чтобы по данным, полученным при исследовании выборки, можно было судить о свойствах генеральной совокупности, выборка должна быть представительной. Для этого необходимо соблюдение двух условий:

1. у каждого объекта генеральной совокупности есть равные шансы попасть в выборку (на практике для соблюдения этого условия достаточно, чтобы способ отбора не влиял на изучаемые характеристики);

2. объём выборки должен быть достаточным для того, чтобы начал действовать закон больших чисел (на практике с ростом объёма выборки растёт точность полученных данных, именно она должна быть достаточной для того, чтобы можно было пренебречь эффектом случайности).

В результате исследования выборки мы получаем совокупность значений исследуемой случайной величины: х₁, х₂, …, х_n. Эти значения будут меняться от выборки к выборке, т.е. сами являются случайными величинами (в рамках теоретических рассуждений). Эти случайные величины обладают таким же законом распределения, как и исследуемая случайная величина, на этом основаны все статистические методы изучения свойств случайных величин.