Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Лекции Сопротивление материалов

.pdf
Скачиваний:
31
Добавлен:
12.08.2019
Размер:
20.41 Mб
Скачать

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Векторное представление девиаторов напряжений и деформаций.

(1)

S

 

 

 

 

2

 

S

 

 

 

 

cos S

 

cos 120 S

 

cos 240

 

2

 

 

 

cos

 

cos 120

 

cos 240

1

 

 

3

xx

 

yy

zz

3

xx

yy

zz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

2

S

 

 

 

cos 90 S

 

cos 30 S

 

cos 150

 

 

2

 

 

 

 

cos 90

 

cos 30

 

cos 150

 

2

 

3

xx

yy

zz

 

3

xx

yy

zz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

3

 

2S

xy

 

 

 

 

2

xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

4

 

2S

 

yz

 

 

 

 

2

yz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

5

 

2S

zx

 

 

 

 

2

zx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

Эxx

 

cos

Эyy

cos 120 Эzz cos 240

2

 

3

 

 

cos

3

exx 2eyy sin

 

 

 

 

 

 

(2)

Э1

 

 

 

3

 

 

3

 

2

exx

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Э

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Э

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos 90 Э

 

cos 30 Э

 

cos 150

 

 

 

e

 

cos 90

 

e

 

2e

 

sin 90

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

xx

yy

zz

 

 

 

 

 

 

xx

 

 

xx

yy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Э

3

 

 

 

 

2Э

xy

 

2e

xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Э

4

 

 

 

 

2Э

yz

 

2e

yz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Э

 

 

 

2Э

zx

 

2e

zx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Векторное представление девиаторов напряжений и деформаций.

(1)

3

S

 

;

1

S

 

2S

 

;

2S

 

;

2S

 

;

2S

 

;

2

xx

2

xx

yy

xy

yz

zx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)3 Эxx ; 1 Э

2 2

(3)

S

 

2

i

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Э

 

3

e

 

 

 

 

2

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4)

3

S xx

;

 

3

 

 

 

2

2

S xx

 

 

 

 

 

 

xx

yy ; xy ; yz ; zx ;

2S

yy

;

3S

xy

;

3S

yz

;

3S

zx

;

 

 

 

 

 

 

 

 

(5) Э

 

;

1

 

Э

 

 

;

2

 

Э

 

;

2

 

Э

 

;

2

 

Э

 

;

xx

 

 

 

xx

yy

 

 

 

xy

 

 

 

yz

 

 

 

zx

3

 

 

3

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Трубчатый образец под действием осевой силы, vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943 крутящего момента и внутреннего давления

 

11

 

 

11

 

где

 

 

 

P

;

 

 

 

 

M

 

2 r

12

2 r

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

;

 

 

 

1

r

 

;

 

l

 

12

2

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- коэффициент

 

 

 

;

 

 

 

qr

;

22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

22

 

r

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

поперечной

 

33

0 ;

 

 

 

 

 

33

v(

11

 

 

 

 

деформации

22

) ,

 

(коэффициент Пуассона)

 

 

 

 

 

 

11

 

 

12

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( ij ) 21

22

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

2

11

 

22

;

 

S

 

 

 

2

22

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

22

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

12

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( ij

)

21

 

22

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

11

 

22

 

33

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

S

 

 

 

11

 

22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

;

S12

 

12

 

;

S

21

 

21

 

 

 

33

 

e11

v(

11

 

 

11

e

 

 

22 ) ,

;e22 22 e ;

e

 

33

33

 

e

;

e12

 

12

 

,

e

 

21

21

 

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

1. Выбор материала

Выбор материала (технически чистый никель;

примеси: Si – 0,068%; Fe – 0,025%; Сu – 0,02%) был обусловлен его относительно высоким модулем упругости Е = 2,07·1011Па, малой ползучестью при комнатной температуре, большой величиной отношения временного сопротивления к пределу текучести. Эти качества позволяют провести изучение деформационной анизотропии в широком диапазоне напряжений. Существенно, что некоторые аспекты рассматриваемых особенностей деформирования уже исследованы для технически чистого никеля с такими же примесями и с примесями Мg – 1% и Fe – 0,052%.

vk.com/club1526850502| vk..com/id446425943Образцы для испытаний

Образцы отжигали (для одной серии опытов это делалось одновременно) при 860 С с последующим охлаждением в печи. Металлографический анализ показал, что в продольном и поперечном шлифах зерна (средний поперечный размер 0,033 мм) являются равноосными полиэдрами со следами двойников. Испытания проводились через 20 дней после отжига, каждый опыт проводился непрерывно.

Образцы отрезаны от холоднотянутых труб длиною около метра; наружные диаметры 8,06 – 8,10 мм, толщина стенки 0,18 – 0,20 мм., что позволяет создать практически однородное напряженно-деформированное состояние. По толщине стенки располагались не менее 6 – 7 зерен. Образцы браковались если отклонения в замерах толщин стенок в десяти контролируемых точках составляли более чем 0,005 мм. Несмотря на некоторый разброс в величинах толщин стенок вдоль окружности сечения, средние значения для данного сечения, отличались менее чем на 0,001 мм. Если погонные веса вырезанных из одной трубы образцов отличались более чем на 1%, то образцы браковались. По весу, диаметру и плотности (последняя определялась взвешиванием в дистиллированной воде и воздухе и равнялась 8,78·103кг/м3) образца вычислялась осредненная толщина стенки. При расхождениях (они были менее 0,002 мм) с замерами в расчетах использовалась толщина, найденная по результатам взвешивания.

Для крепления в установке на концы образца после отжига напаивались две втулки. При пайке во избежание перегрева рабочая часть образца омывалась водой. Перед отжигом, после него и после пайки проверялась прямолинейность образцов.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

vk.com/club152685050 |3vk..com/id446425943Установка для испытаний

Установка для испытаний позволяла осуществлять нагружение растягивающей силой до 2 кН и крутящим моментом до 4 Н м. Последний создавался через агатовые подшипники, в которых, благодаря малому трению, терялось не более 0,5% усилия, что учитывалось при обработке данных.

Измерение деформаций осуществлялось с помощью обеспечивающих высокую точность зеркальных приборов, закрепленных на расстоянии 131 мм друг от друга. Для замера продольных деформаций использовались зеркальные приборы Мартенса с базой 100 мм и диагональю призмы 5 мм. На шине прибора крепилось контрольное зеркало, позволявшее исключить из показаний влияние возможного общего поворота приборов. Замер деформаций производился с использованием миллиметровой шкалы на цилиндрической поверхности, соосной с образцом, при оптическом плече 2500 мм.

Возможность внецентренного растяжения контролировалась четырьмя тензометрами Мартенса в двух взаимоперпендикулярных сечениях образца и устранялась регулировкой эксцентриситета растягивающей нагрузки.

При проведении каждого опыта образец нагружался осевой силой и крутящим моментом до заданного значения интенсивности напряжений σi0 ("активное" или "первичное" нагружение). Затем следовало "пассивное" (или "вторичное") нагружение, состоящее из частичного снятия нагрузки и ее последующего увеличения при ином соотношении усилий.

В процессе нагружения вычислялись значения приращения интенсивности пластических деформаций ∆εi и средние значения модуля пластической податливости h.

vk.com/club1526850504. Обработка| vk.com/id446425943результатов измерений

Здесь для удобства геометрической интерпретации использовано

векторное представление девиаторов.

 

 

 

; ;

 

 

) и

В совмещенном пространстве девиаторов напряжений ( 1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

3

пластических деформаций ( E ;

3

 

) поле направлений векторов Э

1

Å

 

3

 

 

 

 

 

приращений пластических деформаций, может быть задано семейством

кривых, нормали которых совпадают с направлениями Э. Задача сводится

к сопоставлению направлений

Э

 

с направлениями

нормалей

к

геометрическим местам равных приращений интенсивностей пластических деформаций – еi и равных пластических податливостей – h.

Для построения полей пластических податливостей h использовалась зависимость:

h

Э

 

 

 

2

 

1

 

2

 

 

2

3

2

 

 

Э

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg

 

 

 

 

 

arctg

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

где , – изменение нормального и касательного напряжений за ступень нагружения; , γ – изменение пластической осевой деформации и угла сдвига.

Диаграмма

h

vk.com/club152685050

нагружения

,строилась

| vk.com/id446425943

по средним значениям на ступени вторичного

1 î

Ð k Fî

Ð

(1)

 

 

1

î

3

2

M

 

 

1

 

3

 

 

M

k

M

 

 

 

 

î

 

 

 

 

 

î î

 

 

 

 

 

î î

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F r

 

 

 

 

 

 

F r

 

 

(3)

 

 

 

A

 

 

 

1 о

3 / 2

A r

 

r

A

 

 

 

 

 

 

 

 

1

k A

(2)

 

2 0

 

0

2

 

 

k A2

(4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2L

 

l

 

 

 

2Ll

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2Ll

 

1

 

 

о

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

здесь Р, М – изменение растягивающей силы и крутящего момента; F0, r0 – площадь поперечного сечения и средний радиус недеформированного образца; 0 – пластическая деформация растяжения, созданная активным (первичным) нагружением до ; А1 – изменение показаний приборов, измеряющих продольную деформацию; l1 – база этих приборов, практически не изменяющаяся от опыта к опыту ввиду многократных перестановок, при которых призма, несущая зеркало, возвращается к исходному состоянию; – диагональ призмы этих приборов; А2 – изменение разности показаний приборов, измеряющих угол закручивания; l2 – база этих приборов при их установке на недеформированном образце; L – длина плеча, одинаковая для всех приборов.

В (2) – (5) использовано экспериментально проверенное [*] для данного материала свойство сохранения объема при пластическом деформировании.

На начальном этапе пассивного (вторичного) нагружения выполнялось измерение напряженного состояния с последовательными возвращениями на предыдущую ступень нагружения. После указанной частичной "разгрузки от вторичного нагружения" определялись по (4), (5) соответствующие остаточные деформации.

* Митрохин Н.М. Изучение влияния на пластическое деформирование металла вида напряженного состояния при простых и сложных путях нагружения: Автореф. Дис. … канд. Тех. Наук / ЛПИ Л., 1960

vk5.com/club152685050. Погрешности| vk.com/id446425943измерений и обработки данных опытов

Погрешности определения i , h, i могут быть вызваны двумя причинами: расчетом по приближенным формулам и неточным измерением величин.

Расчеты производились с учетом изменения размеров образцов в ходе

опыта, приближенные соотношения (2)

– (5) при опытных значениях e0=0,1

приводят к погрешности

менее

0,4%.

Кроме

того

к погрешностям

ведет

предположение о нахождении Э в плоскости Э

 

 

3

 

, что справедливо,

 

 

 

1

 

x

Э

3

 

 

только если коэффициенты μy и μz поперечной деформации при совместно

действующих растяжении

и

кручении, равны

 

0,5.

 

Равенство

обоих

коэффициентов при линейном растяжении однородного изотропного образца или при его кручении не вызывает сомнений. Но при совместном действии растяжения и кручения оно может не сохраниться. Так в сходных опытах [*]

изменение внутреннего объема скручиваемых образцов говорит о возможном

неравенстве

y и z. Наибольшие расхождения между параметрами вида

девиаторов

напряжений и приращений деформаций

достигали 0,25 .

Используем соотношение, получаемое из приведенных в [*]

 

 

 

1 2

 

cos 2

 

 

1 2 3

 

cos 2

 

y

0.5

 

z

0.5

 

 

 

 

(1)

где , – углы, определяющие наклон главных осей напряжений и деформаций.

*Taylor G.J., QuinneyH. The Plastic Distorion of Metals / Trans. Roy. Soc. 1931. A 230. P. 323-362