Теорема. Фундаментальная система решений уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами состоит из ровно линейно-независимых функций – решений этого уравнения, причем если:

а) действительный корень кратности даёт решения

б) комплексный корень кратности ) дает решения ... ,

Пример 3. Проиллюстрируем теорему одним примером, а именно, найдём все решения уравнения Составим характеристическое уравнение: Его корни: Комплексными решениями уравнения являются функции и а их действительные и мнимые части образуют фундаментальную систему решений. Таким образом, общее решение уравнения имеет вид где произвольные константы .

В заключение этого параграфа разберём метод решения одного типа уравнений, сводящихся к уравнениям с постоянными коэффициентами. Однородным уравнением Эйлера называется уравнение вида

(20)

где действительные константы. Для решения этого уравнения введём новую независимую переменную полагая . Производные функции по надо теперь выразить через производные по Имеем:

и т.д. Подставив эти выражения в уравнение (20), мы получим уравнение с постоянными коэффициентами. Заметим, что в области замена незаконна, но в этом случае можно сделать замену и уравнение (20) также сведётся к уравнению с постоянными коэффициентами.