2. Постановка задачі

Розв’язати задачу лінійного програмування симплекс методом (номер завдання відповідає двом останнім цифрам залікової книжки студента, крім цифр 00 – які відповідають завданню під номером100)

Варіант 48

F(x₁,x₂) = 3x₁ + 6x₂ max ;

x₁ + x₂ 8,

3x₁ + 7x₂ 21,

x₁ + 2x₂ 6,

₀ x₁ 7, 0 x₂ 7.

2.1 Розв’язання без використання пакетів програм.

Cимплекс метод розв’язаний за допомогою сиплекс таблиць

Жордана -Гауса.

Для того щоб показати , що я освоїв даний матеріал зміню напрям цільової функції на min . Оскільки в даній лабораторній роботі розглядається і сиплекс метод двійної задачі то в наступному методі буде показано значення цільової функції при max.

З попередньої лабораторної роботи відомо що

F(0,8)=48->max

F (0,3)=18-> min

Приведемо систему обмежень до системи нерівностей сенсу ≤, помноживши відповідні рядки на (-1).

Визначимо мінімальне значення цільової функції F (X) = 3x1 + 6x2 при наступних умовах-обмеженнях.

x₁ + x₂ 8,

3x₁ + 7x₂ 21,

x₁ + 2x₂ 6,

Для побудови першого опорного плану систему нерівностей приведемо систему рівнянь до рівностей шляхом введення додаткових змінних (перехід до канонічної форми).

В 1-й нерівності типу ( )вводимо базисну змінну x3. В 2-й нерівності типу

( ) вводимо базисну змінну x4. У 3-й нерівності типу ( ) вводимо базисну змінну x5.

1x₁ + 1x₂ + 1x₃ + 0x₄ + 0x₅ = 8

-3x₁-7x₂ + 0x₃ + 1x₄ + 0x₅ = -21

-1x₁-2x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 1x₅ = -6

Матриця коефіцієнтів A=a(ij) цієї системи рівнянь має вигляд :

Базисні змінні це змінні, які входять тільки в одне рівняння системи обмежень і притому з одиничним коефіцієнтом.

Вирішимо систему рівнянь щодо базисних змінних:

x3, x4, x5,

Вважаючи, що вільні змінні рівні 0, отримаємо перший опорний план:

X1 = (0,0,8,-21,-6)

Базисне рішення називається допустимим, якщо воно невід’ємне.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5
x3	8	1	1	1	0	0
x4	-21	-3	-7	0	1	0
x5	-6	-1	-2	0	0	1
F(X0)	0	-3	-6	0	0	0

1. Перевірка критерію оптимальності.

План 0 в симплексного таблиці є псевдопланом, тому визначаємо провідний рядок і стовпець.

2. Визначення нової вільної змінної.

Серед негативних значень базисних змінних вибираємо найбільший по модулю.

Провідним буде 2-ий рядок, а змінну x4 слід вивести із базису.

3. Визначення нової базисної змінної.

Мінімальне значення θ відповідає 2-му стовпцю, тобто змінну x2 необхідно ввести в базис.

На перетині провідного рядка і стовпця знаходиться дозволяючий елемент (ДЕ), який дорівнює (-7).

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5
x3	8	1	1	1	0	0
x4	-21	-3	-7	0	1	0
x5	-6	-1	-2	0	0	1
F(X)	0	-3	-6	0	0	0
Θ(дельта)	0	-3 : (-3) = 1	-6 : (-7) = 6/7	-	-	-

4. Перерахунок симплекс таблиці

Виконуємо перетворення симплексного таблиці методом Жордана-Гаусса.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5
x3	5	4/7	0	1	1/7	0
x2	3	3/7	1	0	-1/7	0
x5	0	-1/7	0	0	-2/7	1
F(X0)	18	-3/7	0	0	-6/7	0

Показую розрахунок кожного елемента у вигляді таблиці:

B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5
8-(-21 • 1):-7	1-(-3 • 1):-7	1-(-7 • 1):-7	1-(0 • 1):-7	0-(1 • 1):-7	0-(0 • 1):-7
-21 : -7	-3 : -7	-7 : -7	0 : -7	1 : -7	0 : -7
-6-(-21 • -2):-7	-1-(-3 • -2):-7	-2-(-7 • -2):-7	0-(0 • -2):-7	0-(1 • -2):-7	1-(0 • -2):-7
0-(-21 • -6):-7	-3-(-3 • -6):-7	-6-(-7 • -6):-7	0-(0 • -6):-7	0-(1 • -6):-7	0-(0 • -6):-7

У базисному стовпці всі елементи позитивні.

Переходимо до основного алгоритму симплекс-методу.

1. Перевірка критерію оптимальності.

Серед значень індексного рядка немає позитивних елементів(тих що задовольняють умову). Тому ця таблиця визначає оптимальний план задачі.

Остаточний варіант симплекс-таблиці:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5
x3	5	4/7	0	1	1/7	0
x2	3	3/7	1	0	-1/7	0
x5	0	-1/7	0	0	-2/7	1
F(X1)	18	-3/7	0	0	-6/7	0

Оптимальний план при F=3X1+6X2->min

x₃ = 5

x₂ = 3

x₅ = 0

F(X) = 6•3 = 18

Отже значення з лабораторною роботою №1 співпали.

Перевірка даного методу в Exel подана нижче у розділі №3 (малюнок 1-2)

Cимплекс метод розв’язаний за допомогою сиплекс таблиць

З додаванням додаткових змінних .

Умова

F(x₁,x₂) = 3x₁ + 6x₂ max ;

x₁ + x₂ 8,

3x₁ + 7x₂ 21,

x₁ + 2x₂ 6,

₀ x₁ 7, 0 x₂ 7.

Тут розглядається варіант зі снаходженням оптимального плану для max.

Для побудови першого опорного плану систему нерівностей приведемо до системи рівностей шляхом введення додаткових змінних (перехід до канонічної формі).

В 1-й нерівності типу (≤) вводимо базисну змінну x3. В 2-й нерівності типу (≥) вводимо базисну змінну x4 зі знаком мінус. У 3-й нерівності типу (≥) вводимо базисну змінну x5 зі знаком мінус.

1x₁ + 1x₂ + 1x₃ + 0x₄ + 0x₅ = 8

3x₁ + 7x₂ + 0x₃-1x₄ + 0x₅ = 21

1x₁ + 2x₂ + 0x₃ + 0x₄-1x₅ = 6

Введемо штучні змінні x: в 2-e рівність вводимо змінну x6; в 3-у рівність вводимо змінну x7;

1x1 + 1x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7 = 8

3x1 + 7x2 + 0x3-1x4 + 0x5 + 1x6 + 0x7 = 21

1x1 + 2x2 + 0x3 + 0x4-1x5 + 0x6 + 1x7 = 6

Для постановки задачі на максимум цільову функцію запишемо так:

F (X) = 3x1 +6 x2 - Mx6 - Mx7 → max

За використання штучних змінних, що вводяться у цільову функцію, накладається так званий штраф величиною М, дуже велике позитивне число, яке зазвичай не задається.

Отриманий базис називається штучним, а метод рішення називається методом штучного базису.

Причому штучні змінні не мають відношення до змісту поставленого завдання, однак вони дозволяють побудувати стартову точку, а процес оптимізації змушує ці змінні приймати нульові значення та забезпечити допустимість оптимального рішення.

З рівнянь виражаємо штучні змінні:

x6 = 21-3x1-7x2+x4

x7 = 6-x1-2x2+x5

які підставимо в цільову функцію:

F(X) = 3x₁ + 6x₂ - M(21-3x₁-7x₂+x₄) - M(6-x₁-2x₂+x₅) → max

або

F(X) = (3+4M)x₁+(6+9M)x₂+(-1M)x₄+(-1M)x₅+(-27M) → max

Матриця коефіцієнтів A = a (ij) цієї системи рівнянь має вигляд:

1	1	1	0	0	0	0
3	7	0	-1	0	1	0
1	2	0	0	-1	0	1

Базисні перемінні це змінні, які входять тільки в одне рівняння системи обмежень і при цьому з одиничним коефіцієнтом.

Вирішимо систему рівнянь щодо базисних змінних:

x3, x6, x7,

Вважаючи, що вільні змінні рівні 0, отримаємо перший опорний план:

X1 = (0,0,8,0,0,21,6)

Базисне рішення називається допустимим, якщо воно невід’ємне.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x3	8	1	1	1	0	0	0	0
x6	21	3	7	0	-1	0	1	0
x7	6	1	2	0	0	-1	0	1
F(X0)	-27M	-3-4M	-6-9M	0	1M	1M	0	0

Переходимо до основного алгоритму симплекс-методу.

Ітерація № 1.

Крок1
Базис	БП	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	X6	x7
x3	8	1	1	1	0	0	0	0
X6	21	3	7	0	-1	0	1	0
X7	6	1	2	0	0	-1	0	1
F(x)	-27M	-4M-3	-9M-6	0	M	M	0	0

Перерахунок симплекс-таблиці.

Формуємо наступну частину симплексного таблиці.

Замість змінної x до таблиці 1 увійде змінна x2.

Рядок, відповідної змінної x2 в плані(таблиці) 2, отриманої в результаті поділу всіх елементів рядка x6 таблиці 1 на дозвільний (той який стоїть на перетині рядків) елемент ДЕ = 7

На місці дозвільного елемента в таблиці(плані) 1 отримуємо 1.

В інших клітинах стовпця x2 плану 1 записуємо нулі.

Таким чином, у новому плані 1 заповнюю рядок x2 і стовпець x2.

Всі інші елементи нового плану 1, включаючи елементи індексного рядка, визначаються за правилом прямокутника.

Для цього вибираємо зі старого плану(таблиці 1 ) чотири числа, які розташовані у вершинах прямокутника і завжди включають дозвільний елемент ДЕ.

Зроблю розрахунок кожного елемента у вигляді таблиці:

Крок 2
Базис	B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x6	X7
x3	5	4/7	0	1	1/7	0	-1/7	0
x2	3	3/7	1	0	-1/7	0	1/7	0
X7	0	1/7	0	0	2/7	-1	-2/7	1
F(X)	18	-1/7M-3/7	0	0	-2/7M-6/7	M	9/7M+6/7	0

Отримуємо нову симплекс-таблицю:

Крок 3
Базис	B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	X6	x7
x3	5	1/2	0	1	0	1/2	0	-1/2
x2	3	1/2	1	0	0	-1/2	0	1/2
x4	0	1/2	0	0	1	-7/2	-1	7/2
F(X)	18	0	0	0	0	-3	M	M+3

Перерахунок симплекс-таблиці.

Крок 4
Базис	B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	X6	X7
x5	10	1	0	2	0	1	0	-1
x2	8	1	1	1	0	0	0	0
x4	35	4	0	7	1	0	-1	0
F(X3)	48	3	0	6	0	0	M	M

Отже отримали нову симплекс-таблицю:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x5	10	1	0	2	0	1	0	-1
x2	8	1	1	1	0	0	0	0
x4	35	4	0	7	1	0	-1	0
F(X3)	48	3	0	6	0	0	1M	1M

Оптимальний план запишемо так:

x₅ = 10

x₂ = 8

x₄ = 35

F(X) = 6•8 = 48