2.1.3. Проверка биномиальных гипотез

Разберем проверку биномиальных гипотез на примере.

Допустим, что на производственной линии, выпускающей определенные изделия, доля засоренности (брака) составляет 5%. Было предложено усовершенствование, призванное снизить долю брака. После переналадки линии было проведено ее испытание, при котором из 300 выпущенных изделий забраковано 9. Требуется выяснить, можно ли на уровне 1% значимости считать, что качество продукции после усовершенствования линии выше, чем до?

Решение. Принимаем в качестве нулевой гипотезы Но, что линия и после усовершенствования выпускает изделия с браком 5%:

Н0 : р = 0,05.

Альтернативная гипотеза Н1 заключается в том, что процент брака снизился:

Н1 : р < 0,05.

Альтернативная гипотеза, при которой вероятность события р/Н1 меньше, чем вероятность р при нулевой гипотезе, называется левосторонней, и наоборот, если р/Н1 > р/Н0, то гипотеза называется правосторонней.

Напомним, что уровень значимости α – это вероятность отвергнуть нулевую гипотезу при условии, что она верна. Таким образом, имеем α = 0,01 и N = 300 изделий.

Число бракованных изделий d в этой выборке может быть от 0 до 300: d = {0,1,2,3 …300}.

Величина d является биномиальной величиной и записывается в виде

d = Bi (N; р/Н0) = Bi (300; 0,05).

Биномиальная величина d может быть выражена формулой (2.1):

где µ = N·р/Н₀ – математическое ожидание, а σ = – среднее квадратическое отклонение нормального распределения.

Подставляя в формулу (2.1) значения N и р/Н₀, получим

В этой формуле µ = 15, а σ = 3,8.

Найдем левостороннюю границу критической области Xлев (рис. 2.1) по формуле

Xлев = µ – σ·u_1-2α,

где u1-2α – решение уравнения 2Ф(u1 - 2α) = 1 – 2α.

Учитывая, что α =0,01, то 1 – 2α = 0,98. В соответствии с Приложением 1 получим u_0,98 = 2,3. Тогда

Xлев = 15 – 3,8·2,3 = 6,26 ≈ 6. Рис.2. 1. Критическая область левосторонней гипотезы

Таким образом, критическая область S соответствует границам: S = {0, 1, 2 …6).

Тогда область принятия гипотезы Н₀ соответствует границам {7,8…300}.

Учитывая, что количество бракованных изделий в исследуемой выборке (9 единиц) попадает в область принятия гипотезы Н₀, то можно сделать вывод, что имеющиеся данные не дают оснований считать, что качество продукции в результате усовершенствования линии улучшилось.

2.1.4. Критерий согласия χ² (хи – квадрат)

При проверке биномиальных гипотез требовалось проверить гипотезу о равенстве неизвестной вероятности некоторому числу. То есть, речь шла об уточнении значения одного параметра – вероятности.

Иной характер имеет ситуация, когда требуется проверить гипотезу о равенстве определенным значениям нескольких вероятностей или закона распределения в целом.

В этих случаях применяется критерий согласия χ², который выражается следующей формулой:

где mi – количество измерений i-го события,

pi – вероятность i-го события,

r – число событий,

n– суммарное число измерений во всех событиях.

Если полученное значение критерия χ2 больше критического значения (см. таблицу Приложения 2), то нулевая гипотеза принимается.

Рассмотрим применение критерия согласия χ2 на примере.

Допустим, что по одним и тем же чертежам выпускается изделие на разных предприятиях. Товар продается в одном магазине. За неделю продажи изделия первого предприятия купило 160 человек, второго предприятия – 225, третьего – 215. Определить, есть ли разница в качестве выпускаемого изделия.

Решение. За нулевую гипотезу Н₀ принимаем равенство вероятностей рi качества производства изделия

Н₀ : р1= р2 = р3 = 1/3.

Вычислим по формуле (2.2) критерий согласия χ2 при следующих данных: r =3, m₁ = 160, m₂ = 225, m₃ = 215, n = Σ m_i = 600, m_ср = n·р_i = 600·1/3 = 200. Тогда

Зададимся уровнем значимости события α = 0,01. Теперь обратимся к таблице критических значений критерия согласия χ² (см. Приложение 2). При k = r – 1 = 3 – 1 = 2 и α = 0,01 получим =9,2

Таким образом, вычисленное по формуле (2.2) значение критерия согласия () больше, чем критическая граница принятия нулевой гипотезы (=9,2):

что позволяет сделать следующий вывод: разница в качестве производства изделия разными предприятиями несущественна, и расхождения в числе продаж объясняются случайными причинами.