4.3. Качественные методы прогнозирования
При отсутствии количественных данных (или когда их получение является дорогостоящим делом) используются качественные методы прогнозирования (рис. 4.12).
Кратко рассмотрим каждый из методов.
а) Дельфийский метод – метод экспертных оценок, представляет собой процедуру, позволяющую приходить к согласию группе экспертов из самых разных, но взаимосвязанных областей. Каждому эксперту независимо рассылается вопросник по поводу рассматриваемой проблемы.
Рис. 4.12. Классификация качественных методов прогнозирования
Ответы экспертов ложатся в основу подготовки следующего вопросника и так далее (обычно 3-4 захода), до тех пор, пока эксперты не приходят к согласию (при запрете на открытые дискуссии).
б) Изучение рынка – модель ожидания потребителя. Прогноз строится на основании разнообразных опросов потребителей с последующей статистической обработкой.
в) Метод консенсуса или мнение жюри. Заключается в соединении и усреднении мнений группы экспертов в процессе «мозгового» штурма.
г) Совокупное мнение сбытовиков. Метод опирается на мнение контактирующих с потребителями торговых агентов и специалистов по сбыту на предприятиях.
д) Историческая аналогия. Используется в тех случаях, когда нужно дать прогноз события по своим характеристикам близкого к ранее встречающимся.
Точность прогнозов зависит от предсказания. Считается, что самый длинный по срокам и дорогой по цене метод прогнозирования – изучение рынка, наиболее точный - дельфийский. На рис. 4.13 отражены данные по точности прогнозирования.
Рис. 4.13. Точность прогнозов качественных методов: d – дельфийский, m – изучение рынка, p – метод консенсуса, g – линия сбытовиков, h – историческая аналогия. а), б), в) – соответственно краткосрочный, среднесрочный, долгосрочный прогнозы. 1, 2, 3, 4, 5 – соответственно прогнозы плохой, средний, хороший, отличный, превосходный
4.4. Статистическое моделирование (метод Монте–Карло)
4.4.1. Основные положения
Приближенные методы решения математических и физических задач можно разделить на две группы:
- вероятностные методы,
- детерминистские методы.
Метод называется вероятностным, если все или некоторые шаги решений задачи осуществляются с применением случайных значений. В противном случае метод считается детерминистским.
Если одну и ту же задачу решать дважды одним и тем же методом, то в случае детерминистского метода оба результата (при отсутствии ошибок) должны совпадать, а в случае вероятностного метода точное совпадение результатов практически невозможно.
Понятие «вероятностный метод» несколько шире понятия «метод Монте – Карло». Вероятностные методы по сравнению с детерминистскими являются более простыми и универсальными. Самое примечательное свойство вероятностных методов состоит в независимости их скорости сходимости от размерности решаемой задачи. Вместе с этим вероятностные методы по сравнению с детерминистскими методами слишком медленно сходятся и потому их применение возможно только на ЭВМ.
Закон больших чисел, играющий решающую роль в методе Монте – Карло, составляют две фундаментальные теоремы - Бернулли и Чебышева.
Теорема Бернулли. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых может наступить с вероятностью р некоторое событие A, вероятность его ненаступления q = 1 – р . Тогда для любого ε >0
lim p (| m/n – p | < ε ) = 1,
где m/n – относительная частота событий.
Теорема Чебышева. Пусть х1 , х2 , …хn - независимые случайные величины с математическим ожиданием а и с равномерно ограниченной дисперсией. Тогда для любого ε > 0
lim p ( | 1/n· (x1 + x2 +…+ xn ) – a | < ε ) = 1 .
Центральная идея метода Монте-Карло заключается в следующем. При помощи подходящей вероятностной модели точное решение поставленной задачи интерпретируется либо как вероятность р некоторого события, либо как математическое ожидание a некоторой случайной величины. Затем производится n случайных независимых испытаний. Тогда на основании закона больших чисел за приближенное решение данной задачи принимается относительная частота m/n событий (согласно уравнению Бернулли) и их среднее арифметическое 1/n·(x1 + x2 +…+ xn) (согласно уравнению Чебышева).
Впервые метод Монте–Карло был применен в 1855 году для вычисления константы π, величину которой, как известно, детерминистским методами определить невозможно. Для этого был использован следующий опыт. На плоскость, разграфленную параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии длины иглы, бросали саму иглу. Вычислили, что вероятность р пересечения этой иглы какой-либо из параллельных прямых равно 2/π. В этом случае можно написать уравнение р = 2/π = m/n, откуда
π = 2n/m,
где m – число пересечений иглой параллельных прямых,
n – общее число подбрасывания иглы.
Очевидно, что точность величины π будет зависеть от числа опытов при этом испытании.
Метод Монте–Карло называют также статистическими испытаниями, учитывая, что решение задачи определяется подсчетом вероятностных событий. Метод Монте–Карло применяется для решения многих задач, которые не решаются аналитическими методам. Особенно часто применяется этот метод для решения задач, в которых изменение параметра зависит от величины самого параметра.
Например, задачи по определению давления атмосферного воздуха с высотой подъема в атмосферу, задача по защите от радиоактивных излучений, задачи массового обслуживания (что особенно важно с расширением применения мобильных телефонов) и т. д. В основном этим методом решаются задачи, требующие достаточно большого количества статистических испытаний.