3.3.2. Выбор факторов, областей их варьирования и вида уравнения регрессии

Последовательность действий, необходимых для решения интерполяционной задачи, может быть представлен в виде блок-схемы (рис. 3.6).

Выбор факторов, от которых зависит функция отклика Y, осуществляется на основе анализа уже имеющихся результатов предыдущих исследований. Выбирая факторы, надо следить за тем, чтобы они удовлетворяли следующим требованиям:

- управляемости факторов. Фактор должен изменяться по требуемому закону или оставаться постоянным во время проведения опыта,

- совместимости фактора. Должна быть технически осуществима любая комбинация факторов в пределах области их варьирования,

- независимости факторов друг от друга.

Рис. 3.6. Блок-схема решения интерполяционной задачи

Нельзя в качестве факторов X выбирать переменные, зависящие друг от друга. Область варьирования факторов задается путем введения ограничений на возможность изменения (варьирования) факторов. Ограничения бывают двух видов:

- ограничения, накладываемые непосредственно на факторы (например, X₁ > 0, X₂< а, …Xn < 0),

- ограничения, накладываемые на функциональные зависимости факторов (например, φ(X₁, …Xn)>0).

Выбор ограничивающих зависимостей осуществляется из технических, технологических соображений, а также соображений, основанных на опыте предыдущих исследований или исследований в смежной области.

Выбор вида уравнения регрессии осуществляется из следующих соображений. Наиболее удобными для последующих расчетов являются полиноминальные модели, то есть модели, составленные из алгебраических полиномов. На практике используют линейную полиноминальную модель, неполную квадратичную и квадратичную. Запишем эти зависимости для двухфакторной функции отклика:

Полиноминальные модели более высоких порядков обычно не применяют. При отсутствии априорной информации о характере зависимости функции отклика от факторов следует выбрать наиболее простую - линейную модель.

3.3.3. Построение плана эксперимента

Планом эксперимента называется совокупность опытов, необходимых для решения поставленной задачи. План эксперимента выбирают исходя из вида модели. Для линейной модели может быть применен наиболее простой план эксперимента – симметричный двухуровневый. Этот план предусматривает проведение опытов на двух уровнях, симметричных относительно некоторого уровня, выбранного в качестве исходного.

План эксперимента может быть изображен в виде графика (рис. 3.7). По осям графика откладываются значения факторов – такой график называется факторным пространством. На графике (рис. 3.7,а) X₁₀ ,X₂₀ – исходные уровни факторов; X₁в, X₂в – верхние уровни; X₁н, X₂н – нижние уровни; ∆X₁, ∆X₂ – интервалы варьирования. Верхний и нижний уровни факторов получают путем прибавления и вычитания из исходного уровня интервала варьирования:

Согласно плану эксперимента, изображенному на рис. 3.7,а, опыты должны быть проведены на следующих уровнях факторов (X₁в,X₂в), (X₁н,X₂в), (X₁в,X₂н), (X₁н,X₂н), то есть надо проводить четыре опыта.

План эксперимента может быть также записан в виде таблицы, называемой матрицей планирования или репликой.

Рис. 3.7. Симметричный двухуровневый план для двухфакторной функции отклика У: а) натуральный вид; б) нормированный вид

Значения факторов записываются в реплике не в натуральном, а в нормированном (безразмерном) виде. Графически переход от натуральных значений факторов к нормированным означает перенос осей координат факторного пространства в исходный уровень (рис.3.7,б). Нормированные значения факторов будем обозначать . Нормированные и натуральные значения факторов связаны между собой следующими соотношениями:

где Xi, ∆Xi – исходный уровень и интервал варьирования i- го фактора, i – номер фактора.

Найдем значения верхнего и нижнего уровней фактора в нормированном виде:

Таким образом, в нормированном виде верхний уровень любого фактора всегда равен 1, а нижний – минус 1. Исходный уровень любого фактора в нормированном виде всегда равен нулю:

Очевидно, что интервал варьирования любого фактора в нормированном виде всегда равен единице:

В качестве примера запишем матрицу планирования (реплику) симметричного двухуровневого плана для двухфакторной функции отклика, содержащую 4 опыта (табл.3.6): Таблица 3.6

Реплики больших размерностей записываются следующим образом. Реплика для трехфакторной функции отклика Y =f (X₁,X₂,X₃) содержит 8 опытов (вершины куба в трехмерном пространстве). Сначала записывают реплику двухфакторной функции отклика (табл. 3.7) на первых четырех опытах и последующих четырех опытах, а затем – добавляют на первых четырех опытах третий нормированный фактор при верхнем значении нормированного фактора (+1), а на следующих четырех опытах – при нижнем значении нормированного фактора (-1). Таблица 3.7

Аналогично поступают с матрицами больших размерностей, чем 3 фактора. Так для четырехфакторной функции отклика, содержащей 16 опытов, записывают сначала трехфакторную матрицу, а затем добавляют нормированный фактор на первых 8 опытах как (+1), а на последних 8 опытах как (-1).