3.2.3. Определение коэффициента корреляции

Термин «корреляция» был введен в науку английским ученым Ф. Гальтоном, а точную формулу для расчета коэффициента корреляции разработал его ученик К. Пирсон. Этот коэффициент характеризует наличие только линейной связи между признаками (переменными), обозначаемыми, как правило, символами X и Y. Формула расчета коэффициента корреляции построена таким образом, что, если связь между признаками имеет линейный характер, то коэффициент Пирсона r_xy устанавливает тесноту связи. Величина r_xy не может превышать +1 и быть меньше –1. Это границы для значений коэффициента корреляции. При коэффициенте корреляции равном ±1 имеем не статистическую, а функциональную зависимость.

Основная формула для вычисления коэффициента корреляции имеет вид:

(3.9)

Формула (3.9) не совсем удобна для расчета коэффициента корреляции, так как в ней много трудоемких расчетов, связанных с определением суммы разностей (xi – x ) и (yi – y ). Поэтому для практических расчетов чаще пользуются разновидностью этой же формулы

(3.10)

Воспользуемся данными табл.3.5 для расчета коэффициента корреляции статистической зависимости (3.10) (см. пример).

Точность расчетов можно проверить по формуле (3.5):

Расхождение в 0,001 можно записать за счет погрешности округлений при расчетах.

Такое высокое значение коэффициента корреляции свидетельствует о высокой тесноте связи объема снятого материала Q и глубины резания s. Тем не менее, проверим уровень значимости полученного коэффициента путем проверки статистических гипотез.

В качестве нулевой гипотезы Н0 принимаем, что полученный в результате обработки данных коэффициент корреляции r_xy не значим, т.е. корреляции между Q и s или нет, или она слабая. За гипотезу Н1 принимаем альтернативное событие: – r_xy – значим, т.е. имеется тесная корреляция между Q и s.

Воспользуемся математической таблицей «Критические значения коэффициента корреляции r_xy Пирсона» (см. приложение П3). Определим вначале число степеней свободы k = n – 2 = 12 – 2 =10. Находим по указанной таблице критические пределы уровней значимости коэффициента корреляции:

Построим соответствующую «ось» значимости (рис. 3.5). Нанесем на «оси» критические границы и полученное значение коэффициента корреляции. Видно, что значение r_xy лежит далеко за верхней критической границей r_кр = 0,71 в зоне значимости.

Таким образом, нулевая гипотеза Но отвергается, а принимается гипотеза Н1 – полученная регрессионная зависимость Q=F(s) статистически значима.

Рис. 3.5. Оценка значимости коэффициента корреляции r_ху

3.3. Планирование многофакторного эксперимента

3.3.1.Основные понятия и определения

Эксперимент, в процессе которого исследуется стохастическая зависимость одной величины Y от нескольких других Xi , называется многофакторным экспериментом:

Y = f (X₁, X₂, …Xn). (3.11)

Независимые переменные X₁, X₂, …Xn называют факторами , n – число факторов. Зависимая переменная Y называется функцией отклика.

Планирование многофакторного эксперимента – это совокупность действий, позволяющих решить поставленную задачу экспериментальным путем с требуемой точностью при проведении минимального числа опытов. При проведении экспериментальных исследований чаще всего решает две задачи: интерполяционную и задачу оптимизации.

Интерполяционной задачей называется задача построения уравнения регрессии (2.21), адекватного результатам опыта.

Задачей оптимизации называется задача отыскания факторов Xi, при которых функция отклика Y достигает экстремума.

В настоящей работе рассматривается только первая задача. Для решения указанной задачи проводят опыты, то есть измерение функции отклика Y при фиксированных значениях X. Опыт может состоять как из однократного измерения (прямого или косвенного), так и из n повторных измерений. Совокупность опытов, необходимых для решения поставленной задачи, называется планом эксперимента.

Фиксированное значение фактора будем называть его уровнем. Разность двух ближайших уровней фактора называется интервалом варьирования. Совокупность численных значений, которые может принимать фактор, будем называть областью варьирования фактора.