9. Постановка задачи о бинарном рюкзаке и алгоритм ее решения методом динамического программирования.

Постановка задачи: Имеется рюкзак, который может вместить предметы с общим весом не более заданного. Предлагается ряд предметов фиксированного веса и фиксированной стоимости (ценности).Задача состоит в том, чтоб уложить как можно большее число ценных вещей в рюкзак при условии, что вместимость рюкзака ограничена.

Требуется выбрать из заданного множества предметов набор с мах суммарной стоимостью при одновременном соблюдении ограничения на суммарный вес найденного набора. Выбрав набор с мах ценностью задача будет решена.

Имеется: а_i– вес; с_i– ценность (стоимость); Y – вместимость; х_i – количество предметов.

Алгоритм: 1) Пусть функция F_k(Y_i) – максимальная стоимость, которую нужно найти. Допустим, мы уже нашли предмет, весом меньше полной вместимости Y_i.

2) Проверим стоит ли его брать. Если его взять, то вес станет Y- Y_i , тогда F_k(Y_i)= F_k(Y-Y_i)+ с_i . Если не брать предмет, то вес остается тем же, и из двух вариантов выбирается тот, который дает наибольший результат.

3) Математическая модель задачи: С(Х)= →max. ≤Y.

4) Составление основного функционального уравнения (функция Беллмана). F_k(Y_i) = max{C_kX_k+F_k-1(y_i-a_{k *}x_k)}, x_k≤Y/ a_k.

10. Постановка задачи о рюкзаке с неограниченным количеством элементов и алгоритм ее решения методом динамического программирования.

Постановка задачи: Имеется рюкзак, который может вместить предметы N различных типов (количество предметов каждого типа не ограничено). Требуется определить максимальную стоимость предмета вес, которого не превышает W.

Задача состоит в том, чтоб уложить как можно большее число ценных вещей в рюкзак при условии, что вместимость рюкзака ограничена.

Имеется: W – вместимость рюкзака; n – количество i-типа предметов; ω_i– вес i-типа предмета; р_i– стоимость i-типа предмета; k_i – количество экземпляров i-типа предмета.

Задачу можно решить с помощью «дерева решений».

В каждом кружочке показан вес предмета, корень дерева - нулевой вес, то есть когда рюкзак пуст. Первый предмет можно выбрать четырьмя способами, второй - тремя, третий - двумя, а дальше можем взять только один оставшийся предмет.

Выбрав набор с мах весом предмета, задача будет решена.

11. Постановка задачи о замене оборудования и алгоритм ее решения методом динамического программирования.

Задача: Для каждого года в плановом периоде надо решить – сохранять имеющуюся в этот момент оборудования или заменить его, чтобы суммарная прибыль за весь плановый период была максимальной.Имеется: t – возраст оборудования, t=0,1,2…, где t=0 – новое оборудование, t=1 – оборудованию 1 год.R(t) – стоимость продукции, производимой за 1 год на оборудовании возраста t.

C(t) – эксплуатационные затраты за 1 год на оборудовании возраста t.S(t) – остаточная стоимость оборудования возраста t.T- текущее время.Р(Т) – цена нового оборудования в году t.t₀ – начальный возраст оборудования.N – длина планового периода.

Пояснения: Введем функцию f_n(t) – величину суммарной прибыли за последние n –лет планового периода. С помощью f₁(t), f₂(t),…, f_n(t) – функций Беллмана ведется анализ задач динамического программирования. Очевидно, если мы сумеем вычислить f_n(f₀) и найти политику замен, то это и будет решение задач.

Алгоритм: 1) определение числа шагов, равное числу лет, в течение которых эксплуатируется оборудование.

2) определение управлений. Сохранить оборудование: x_i=0. Заменить оборудование: x_i=1.

3) определение функции выигрыша на i-м шаге. R(t)-C(t) –сохранить, S(t)-P+R(0) –C(0)+ f_n(1) - заменить оборудование.

4) Составление основного функционального уравнения (функция Беллмана). Для первого шага: F₁(t)=max(R(t)-C(t),S(t)-P+R(0) –C(0)). Для последующих шагов: F_j(t)=max(R(t)-C(t)-f_j+1(t+1),S(t)-P+R(0) –C(0)+f_j+1(1)), где j =2,3..,n. Решение задачи найдено.