ЭЛЕКТРОТЕХНИКА-1

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

гласно закону Ома u iR RIm sin( t i ) Um sin( t u ) . Таким образом, следует отметить, что на активном сопротивлении

напряжение и ток совпадают по фазе и u – i = = 0 (рис.6). Среднее значение напряжения:

Ucp 1 2 U ( t) d t .

2 0

Действующие значения тока и напряжения:

Приборы электромагнитной системы, применяемые для измерений напряжений и токов на переменном токе, регистрируют действующие значения. Соответственно градуируются и шкалы этих приборов.

12

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Рис.7. Кривые напряжения и тока в индуктивном сопротивлении

Ток, протекающий через индуктивность L (рис.7), меняется по закону синуса i Im sin( t t ) .

t

2

Рис.6. Кривые напряжения и тока в активном сопротивлении

13

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Напряжение на индуктивности определяется выражением

сопротивления цепи переменного тока.

В идеальной индуктивности ток отстает от напряжения на 90 . Если напряжение на емкости меняется по закону синуса

(рис.8) u Um sin( t u ) , то

2

Рис.8. Кривые напряжения и тока в емкостном сопротивлении

В идеальной емкости ток опережает напряжение на 90 . Режим – состояние электрической цепи переменного тока

описывается дифференциальными уравнениями, представляющими собой уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью,

например Ri L dd ti U (t) .

Из курса высшей математики известно, что общее решение такого уравнения может быть найдено методом наложения принужденного и свободного режимов:

14

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Свободные процессы исследуются с целью определения устойчивости системы. В устойчивой системе процессы должны затухать. Принужденный и свободный процессы в сумме определяют процессы, которые называются переходными, т.е. осуществляется переход от одного установившегося режима к другому.

При установившемся режиме ток и напряжение сохраняют в течение длительного времени амплитудные значения.

Вцепях постоянного тока токи и напряжения остаются неизменными, а в цепях переменного тока остаются неизменными кривые изменения токов и напряжений.

5.МОЩНОСТЬ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Впериодическом синусоидальном режиме

p(t) u(t)i(t) Um sin( t u )Im sin( t i ) . Используя известное тригонометрическое преобразование

sin sin 12 cos( ) cos( )

и обозначив u i , получим

p(t) Um2Im cos( u i ) cos(2 t u i )

UI cos UI cos(2 t u i ) .

Среднее за период значение гармонической функции удвоенной частоты равно нулю. Отсюда получаем, что мощность в цепи переменного тока не зависит от времени и определяется ее средним значением

15

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

где cos – энергетическое значение коэффициента мощности,

При заданных Р и U ток является функцией cos . Потери мощности на сопротивлении Р = I2R.

В цепи с резистором = 0 кривые тока и напряжения показаны на рис.9, а кривая мощности на рис.10.

Мгновенное значение мощности:

p ui UmIm sin 2( t u ) Um2Im 1 cos 2( t u ) ;

p UI UI cos 2( t u ) . Действующее значение мощности:

2

Рис.9. Напряжение и ток в активном сопротивлении

t

Рис.10. Мощность в активном сопротивлении

16

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Активная мощность в цепи с идеальной катушкой индуктивности равна 0. Реактивная мощность определяется выражением

Q = ULI = I2XL.

Аналогичные выкладки можно проделать для цепи с идеальным конденсатором: P = 0, Q = UсI = I2Xс .

6. СИМВОЛИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Для цепи переменного тока с последовательным соединением R, L, C (рис.11) дифференциальные уравнения по второму закону Кирхгофа имеют вид:

Решение системы дифференциальных уравнений можно существенно упростить, если перейти от дифференциальных уравнений к алгебраическим. Это можно сделать, изображая синусоидальные величины (i, u) в комплексной форме, т.е. в виде вектора на комплексной плоскости (рис.12).

Расположим под углом u относительно оси абсцисс вектор Um, длина которого в масштабе равна амплитуде изображаемой величины. Положительные углы будем откладывать в направлении против часовой стрелки.

Рис.11. Последовательное включение R, L, C на переменном токе

17

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Рис.12. Вектор Um и его проекции на ось мнимых чисел

Проекции вектора на вертикальную ось мнимых величин в комплексной плоскости равны мгновенному значению напряжения.

Система векторов на комплексной плоскости называется векторной диаграммой. Вектора вращаются относительно центра координат с одной и той же скоростью и поэтому относительно друг друга их положение не меняется. Векторная диаграмма изображается неподвижной в заданный момент времени, определяемый начальной фазой какой-либо величины, например, для идеальных элементов R, L, C (рис.13).

Сложение двух функций в тригонометрической форме трудоемко, но легко производится в векторной форме (рис.14).

Рис.14. Векторные диаграммы сложения двух напряжений

18

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

В расчетах применяют три формы записи комплексных ве-

личин:

1)алгебраическая U U a jU p ;

2)тригонометрическая

Символ j перед мнимой частью комплексного числа в алгебраической форме означает, что мнимая часть повернута по отноше-

нию к вещественной на угол 90 в положительном направлении (против часовой стрелки).

Переходы из одной формы записи в другие:

Представленная ранее система дифференциальных уравнений для цепи переменного тока с R, L, C в комплексном виде записывается следующим образом:

Ume j te j u RIme j te j i Im Le j te j i e j90 Ucme j te j uc ; Ime j te j i CUcme j te j uc e j90 ;

Ucm ImC e j i e j uc e j90 .

Используя выражения e j90 j , e j90 j , запишем выражение для полного напряжения цепи:

19

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

комплексная амплитуда тока.

При замене амплитудных значений на действующие получим закон Ома в комплексной форме:

.

U I Z

Первый закон Кирхгофа в комплексной форме:

n

I к 0 .

к 1

Второй закон Кирхгофа в комплексной форме:

Векторная диаграмма напряжений для цепи (см. рис.11) будет представлять собой прямоугольный треугольник (рис.15),

Треугольники токов, сопротивлений (рис.16) и мощностей (рис.17) строятся аналогично:

Рис.15. Треугольник напряжений

20