Известно, что при неограниченном увеличении числа элементарных отрезков , т.Е.
при
,
и
постоянном значении произведения
биномиальное
распределение
стремится к распределению Пуассона с
параметром
:
(1)
От этого свойства закона Пуассона - выражать биномиальное распределение при большом числе опытов и малой вероятности события - происходит его название, часто применяемое в учебниках статистики: закон редких явлений.
В частности, вероятность того, что за время не произойдет ни одного события (т = 0), равна
.
(2)
Пример. На автоматическую телефонную станцию поступает простейший поток вызовов с интенсивностью = 1,2 вызовов в минуту. Найти вероятность того, что за две минуты: а) не придет ни одного вызова; б) придет ровно один вызов; в) придет хотя бы один вызов.
Решение.
а) Случайная величина
-
число вызовов за две минуты - распределена
по закону Пуассона с параметром
=
1,2
-
2
=
2,4
.
Вероятность того, что вызовов не будет
(т
=
0),
по формуле (2):
.
б) Вероятность
одного вызова (
=
1)
по
формуле (1):
.
в) Вероятность хотя бы одного вызова:
Найдем
распределение интервала времени
между
двумя произвольными соседними событиями
простейшего потока.
В соответствии с формулой (2) вероятность того, что на участке времени длиной не появится ни одного из последующих событий, равна
,
а вероятность противоположного события, т.е. функция распределения случайной величины , есть
.
(3)
Функция распределения (3) определяет показательный (экспоненциальный) закон распределения. Таким образом, интервал времени между двумя произвольными соседними событиями простейшего потока имеет показательное распределение, для которого математическое ожидание равно среднему квадратичному отклонению случайной величины:
.
и обратно по величине интенсивности потока .
Для простейшего потока с интенсивностью вероятность попадания на элементарный (малый) отрезок времени хотя бы одного события потока равна согласно (3):
.
(4)
Эта
приближенная формула, получаемая заменой
функции
лишь
двумя первыми членами ее разложения
в ряд по степеням
,
тем точнее, чем меньше
.
Контрольные вопросы и задачи.
Опишите предмет теории массового обслуживания.
Перечислите основные элементы СМО.
По каким свойствам классифицируются случайные потоки?
дайте определение СМО с отказами, СМО с ожиданием, СМО смешанного типа.
Дайте определение стационарного потока, потока без последействия, ординарного потока.
Что характеризует параметр потока ?
Каким распределением описывается простейший поток?
Задачи.
При каком вероятность поступления в течении промежутка времени
точно
требований
достигает наибольшего значения, если
известно, что входящий поток простейший
с параметром
?
(Ответ:
.)Поток вызовов, поступающих на АТС – простейший. Математическое ожидание числа вызовов, поступающих за единицу времени, равно 3. найти вероятность того, что за две единицы поступит ровно 6 вызовов. (Ответ: 0,16)
Поток объектов простейший с параметром . найти закон распределения времени между двумя последовательными моментами поступления объектов. (Ответ: показательный закон с параметром
)Среднее число заказов такси, поступающих на диспетчерский пункт в одну минуту - равно трем. Найти вероятность того, что за минуты поступит: а) четыре вызова; б) менее четырех вызовов; в) не менее четырех вызовов. (Ответ: а) 0,134; б) 0,151; в) 0,849.