уч. пособие Электротехника. Часть 2

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Рис. 1.2. Скачкообразное изменение напряжения на индуктивности (а) и тока емкости (б)

В электрических цепях с резистивными элементами энергия электромагнитного поля не запасается, вследствие чего в них переходные процессы не возникают, т.е. в таких цепях стационарные режимы устанавливаются мгновенно (скачком).При этом ток и напряжения изменяются мгновенно в период коммутации.

Для расчета переходных процессов вводят понятие независимых начальных условий, за которые принимаются токи в индуктивностяхiL(0-) и напряжения на емкостяхuC(0-) (начальные условия). Если iL(0-)=0 и uC(0-)=0, то такие начальные условия называются нулевыми. Следует отметить, что характер переходного процесса зависит от начальных условий.

1.3.Классический метод расчета переходных процессов

1.3.1.Основы классического метода расчета переходных

процессов

Задача исследования переходных процессов заключается в том, чтобы выяснить, по какому закону и как долго будет наблюдаться заметное отклонение токов в ветвях с индуктивными элементами и напряжений на участках цепи с емкостными элементами от их установившихся значений.

11

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

При исследовании переходных процессов принято считать:

1.Коммутация происходит мгновенно, т.е. отсутствует электрическая дуга при замыкании или размыкании выключателей.

2.Время переходного процесса ограничивают условным пределом – длительностью переходного процесса T. В то время как теоретически время переходного процесса стремиться к бесконечности - асимптотически приближается к новому установившемуся режиму.

3.Установившийся режим рассчитывают для момента

времени стремящегося к бесконечности. Электромагнитные процессы в электрических цепях

описываются дифференциальными уравнениями, составленными согласно первому и второму законам Кирхгофа с использованием уравнений элементов. Порядок дифференциального уравнения определяется тем, сколько в цепи имеется накопителей электрической и магнитной энергии. Если требуется найти ток ik в к- й ветви, то исключая последовательно все токи остальных ветвей, можно получить одно дифференциальное уравнение, содержащее только ток ikи его производные:

Ввыражении 1.7 an, an-1, k, a1, a0 –постоянные коэффициенты, значение которых зависит только от конфигурации цепи.Правая часть уравнения содержит в себе заданные значения ЭДС. Как известно, полные интеграл дифференциального уравнения (1.7) равен сумме частного решения уравнения и решения того же уравнения без правой части, которое будет однородным.

При исследовании переходных процессов в электрических цепях принято считать:

Частное решение уравнения (1.7) определяет ток при установившемся режиме при t = ∞. Как уже было сказано, установившийся режим наступает после коммутации. Частное решение называют принужденной составляющейiпр, так как характер и величина этой составляющей определяются только внешними источниками. Для нахождения значения этой

12

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

составляющей используют методы и расчеты электрических цепей для установившегося режима.

Общее решение однородного уравнения, которое получают из уравнения (1.7) путем приравнивания правой части к нулю f(t) = 0 и называют свободной составляющейiсв. Это решение физически определяет электромагнитные процессы, происходящие в цепи при отсутствии внешних источников энергии, за счет запаса энергии в индуктивностях и емкостях, который был в начальный момент времени.

Так как в реальных электрических цепях всегда имеет место рассеяние энергии (преобразование в тепло), то запас энергии будет со временем исчерпан, и электромагнитные процессы в цепи будут вынуждены прекратиться. Из этого следует, что общее решение однородного уравнения должно стремиться к нулю при t .

Общее решение однородного дифференциального уравнения n-го порядка, как известно из курса математики в случае простых корней, имеет вид:

где t – время; Ak – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий; λк – корень характеристического уравнения, измеряемый в 1 :

Для описания переходного процесса важным параметром является постоянная времени τ, которая находится как величина, обратная корню характеристического уравнения и измеряется в секундах:

Как правило, переходный процесс затухает за период времени

= 3 ÷ 5 .

13

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Рассмотренный метод расчета переходных процессов называется классическим. При составлении дифференциальных уравнений в качестве неизвестных необходимо принимать ток iL в индуктивности и напряжение uC на емкости. При таком выборе неизвестных достаточно легко на основании начальных условий и законов коммутации определить постоянные интегрирования.

Рассмотрим для схемы, представленной на рисунке 1.3, как будет выглядеть в общем виде решение дифференциального уравнения.

Рис. 1.3. Схема электрической цепи с R, L, C элементами

После коммутации состояние схемы будет описываться следующим уравнением:

Если это уравнение продифференцировать по времени, то получится линейное дифференциальное уравнение второго порядка (уравнение 1.21) с постоянными коэффициентами, в роли которых выступают параметры R, L, C.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

1.3.2. Пример расчета переходного процесса классическим методом в цепи с одним накопителем – катушкой индуктивности

Для нахождения тока в цепи, содержащей один накопитель энергии – катушку индуктивности, рассмотрим схему, представленную на рисунке 1.4. Цепь подключена на постоянное напряжение.

Рис.1.4. Схема электрической цепи с одним накопителем – катушкой индуктивности

Цепи, содержащие всего один участок с накопителем магнитной энергии (L), описываются дифференциальным уравнением первого порядка, т.е. такие уравнения содержат только

одну производную .

Запишем дифференциальное уравнение в общем виде для контура после коммутации. Получится дифференциальное уравнение первого порядка:

Решением данного уравнения будет сумма принужденной и свободной составляющей.

Для нахождения принужденной составляющей рассмотрим установившийся режим для момента времени t = ∞. При расчете установившегося режима в случае постоянных внешних ЭДС необходимо помнить, что сопротивление индуктивности

15

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

постоянному току равно нулю. Поэтому для рассматриваемой схемы, принужденный ток iпрнаходится по закону Ома:

(1.15)

Затем необходимо рассмотреть схему после коммутации с учетом новых направлений токов и напряжений и записать уравнение по второму закону Кирхгофа:

Решением этого уравнения будет показательная функция вида:

Далее необходимо определить свободную составляющую iсв. Для этого необходимо найти начальные условия iL(0-), для чего рассматривается схема до коммутации. Так как цепь до коммутации была отключена (принимаем, что это было достаточно длительное время), то ток в цепи отсутствовал и iL(0-)=0.

Теперь имея значение свободной и принужденной составляющих в общем виде, может записать выражение для искомого тока переходного процесса:

16

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Для нахождения коэффициента свободных составляющих необходимо используя законы коммутации записать уравнение для момента времени t = 0:

Откуда находим постоянную времени = −

Тогда искомый ток во время переходного процесса будет равен:

Для того чтобы найти напряжение на катушке индуктивности необходимо взять производную от токаили из уравнения 1.16.

1.3.3. Пример расчета переходного процесса классическим методом в цепи с одним накопителем – ѐмкостью

Электромагнитные процессы при переходном процессе в таких цепях обусловлены запасом электрической энергии в емкостиСи рассеиванием этой энергии в виде тепла на активных сопротивлениях цепи. При составлении дифференциального уравнения следует в качестве неизвестной функции выбрать напряжение uC на емкости. Следует отметить, что при расчете установившихся режимов, т.е. при определении начальных условий и принужденной составляющей, сопротивление емкости в цепях постоянного тока равно бесконечности.

Рассмотрим электрическую цепь, представленную на рисунке 1.5, и решим задачу о переходном процессе классическим методом.

17

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Рис. 1.5. Схема электрической цепи с одним накопителемконденсатором

Для начала необходимо определить начальные условия для конденсатора. Так как цепь до коммутации от источника постоянного напряжения предположительно долгий промежуток времени, напряжение на конденсаторе было равно нулю. Поэтому начальным условием будет uC(0-)=0.

Для электрической цепи после коммутации, с учетом выбранных направлений тока и напряжений уравнение по второму закону Кирхгофа имеет вид:

Далее преобразуем уравнение 1.23 в дифференциальное уравнение:

Для того, чтобы найти принужденную составляющую uпр необходимо рассмотреть схему после коммутации. Так как цепь подключена к источнику постоянного напряжения, то ток в цепи

18

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

будет отсутствовать, так как конденсатор является бесконечным сопротивлением в цепи постоянного тока. Из этого следует, что напряжение на резисторе будет равно нулю, а напряжение на конденсаторе будет равно напряжению источника питания, т.е.:

Далее необходимо найти свободную составляющую uсв. Для этого необходимо из уравнения 1.24 получить однородное уравнение, исключаяиз цепи источник питания:

Решением этого уравнения является показательная функция

.

Для того чтобы найти λ составим характеристическое уравнение:

Тогда получаем = − 1 , =

Для нахождения коэффициента свободных составляющих необходимо используя законы коммутации и начальное условие записать уравнение для момента времени t = 0:

Откуда находим постоянную времени = −

Тогда напряжение на емкости во время переходного процесса будет равно:

19

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Ток в цепи можно найти по уравнению 1.23 или используя компонентное уравнение для конденсатора.

1.3.4. Расчет переходного процесса в цепи переменного тока с одним накопителем.

Для примера рассмотрим цепь переменного тока, состоящую из последовательного соединения катушки индуктивности и резистора, подключенную к источнику переменного напряжения

= sin + , .

Алгоритм расчета переходного процесса классическим методом в цепи переменного тока такой же, как и для цепи постоянного тока.

Поэтому сначала найдем начальные условия iL(0-), для чего рассматривается схема до коммутации. Так как цепь до коммутации была отключена (принимаем, что это было достаточно длительное время), то ток в цепи отсутствовал и iL(0-)=0.

Далее найдем принужденную составляющую тока для установившегося режима.

Для нахождения корня характеристического уравнения λ используем второй метод составления характеристического уравнения. Согласно этому методу, необходимо найти входное сопротивление схемы после коммутации и приравнять его к нулю вх = 0. Для этого ЭДС и токи источников приравниваются к нулю. Иначе говоря, источники ЭДС закорачиваются, так как внутренне сопротивление источника ЭДС равно нулю, а ветви с источниками тока разрываются, так как внутреннее сопротивление источника тока равно бесконечности. В полученной схеме

20