[ Иванов] Астрофизика звёзд

pRIMENQQ POSLEDN@@ FORMULU K CENTRU ZWEZDY I POLXZUQSX WYRAVE- NIQMI (2.12) I (2.8) DLQ pc I c, NAHODIM, ^TO DLQ NORMALXNOJ POLITROPY

tc OT n NE O^ENX SILXNAQ, TAK ^TO CENTRALXNYE TEMPERATURY NORMALXNYH ZWEZD | W TOJ MERE, W KAKOJ IH MOVNO S^ITATX POLITROPAMI, | SRAW- NITELXNO MALO ^UWSTWITELXNY K STRUKTURE ZWEZDY (tABL. V.2.2, S. 136). dLQ POLITROPY S n = 3, M = M I R = R IZ (3.2) I (3.4) POLU^AEM Tc = 19:6 MLN KELXWINOW. pRI = 0:60, ^TO SOOTWETSTWUET HIMI^ES- KOMU SOSTAWU SOLNE^NOJ ATMOSFERY (X = 0:73 Y = 0:25 Z = 0:02), CENTRALXNAQ TEMPERATURA OKAZYWAETSQ RAWNOJ Tc = 12 106 K.

tEMPERATURNYE USLOWIQ W CENTRE W OB]EM NE SILXNO OTLI^A@TSQ OT TEH, W KOTORYH NAHODITSQ BOLX[AQ ^ASTX WE]ESTWA NORMALXNOJ POLITRO- PY. w \TOM LEGKO UBEDITXSQ, ESLI PRIWLE^X TEOREMU WIRIALA. dLQ ZWEZDY IZ NEWYROVDENNOGO GAZA S = const WIRIALXNOE WYRAVENIE DLQ SREDNEJ TEMPERATURY WE]ESTWA ZWEZDY, KAK BYLO NAJDENO W P. IV.2.1, IMEET WID

! GM T = 3 R R :

dLQ POLITROPY ! = 3=(5 ; n), I PO\TOMU

zDESX T | SREDNQQ PO MASSE TEMPERATURA:

T = 1 Z M T dMr: M 0

oBSUDITE FIZI^ESKIJ SMYSL ZAWISIMOSTI T OT n. sRAWNITE \TO WYRAVENIE

S UNIWERSALXNOJ OCENKOJ T IZ P. IV.2.1.

|TA SREDNQQ TEMPERATURA SWQZANA S TEMPERATUROJ W CENTRE POLITROPY SOOTNO[ENIEM, POLU^A@]IMSQ SOPOSTAWLENIEM WYRAVENIJ DLQ Tc I T :

Tc = (5 ; n) 1 T T :

(n + 1) 1

oNO POKAZYWAET, ^TO T I Tc | WELI^INY ODNOGO PORQDKA. w NAIBOLEE IN-

TERESNOJ OBLASTI ZNA^ENIJ n CENTRALXNAQ TEMPERATURA PREWOSHODIT

SREDN@@ NE BOLEE ^EM WDWOE (SM. tABL. V.2.2, S. 136). wPRO^EM, SLEDUET IMETX W WIDU, ^TO MO]NOSTX WYDELENIQ \NERGII PRI TERMOQDERNYH RE- AKCIQH ZAWISIT OT TEMPERATURY O^ENX SILXNO. pO\TOMU PRI OBSUVDENII \NERGETIKI ZWEZD DAVE SRAWNITELXNO NEBOLX[IE RAZLI^IQ W TEMPERATURE OKAZYWA@TSQ SU]ESTWENNYMI.

w ZWEZDAH BOLX[IH MASS, KAK BYLO PO- KAZANO W RAZD. 3 GL. IV, ZAMETNU@ ROLX DOLVNO IGRATX DAWLENIE IZLU^E- NIQ. pROIZWEDEM EGO U^ET, PREDPOLAGAQ

PO-PREVNEMU, ^TO RASPREDELENIE WE]ESTWA I DAWLENIQ W ZWEZDE OPISY- WAETSQ POLITROPOJ NEKOTOROGO INDEKSA n, A ZWEZDA SOSTOIT IZ NEWYROV- DENNOGO GAZA. oBOZNA^IM, KAK OBY^NO, DOL@ GAZOWOGO DAWLENIQ W POLNOM DAWLENII ^EREZ , TAK ^TO P = (R =) T. tOGDA DOLQ DAWLENIQ IZLU- ^ENIQ RAWNA 1; , I (1; )P = a T 4=3. iZ \TIH WYRAVENIJ ISKL@^ENIEM T LEGKO POLU^ITX SWQZX MEVDU P , I :

IZ KOTOROJ MY I ISHODILI W P. IV.3.1 PRI WYWODE UNIWERSALXNOJ OCENKI WKLADA DAWLENIQ IZLU^ENIQ W CENTRE ZWEZDY 1 ; c. dLQ POLITROP \TO SOOTNO[ENIE POZWOLQET PRODWINUTXSQ DALX[E, DAWAQ WOZMOVNOSTX NAJTI NE TOLXKO 1 ; c, NO I HOD 1 ; WDOLX RADIUSA.

dEJSTWITELXNO, ESLI S^ITATX ZWEZDU HIMI^ESKI ODNORODNOJ ( = const), TO IZ POSLEDNEGO SOOTNO[ENIQ NEMEDLENNO SLEDUET, ^TO

nO DLQ POLITROPY INDEKSA n IMEEM P = Pc n+1 = c n, I PO\TOMU OKAZYWAETSQ, ^TO

rASPREDELENIE DOLI DAWLENIQ IZLU^ENIQ WDOLX RADIUSA FAKTI^ESKI WYRAVENO TEM SAMYM ^EREZ FUNKCI@ |MDENA (S TO^NOSTX@ DO RE[ENIQ ALGEBRAI^ESKOGO URAWNENIQ ^ETWERTOJ STEPENI). s POMO]X@ (IV.3.2) POSLEDNEE SOOTNO[ENIE MOVNO PEREPISATX TAKVE W WIDE

iZ (3.7) SLEDUET, ^TO PRI n < 3 WKLAD DAWLENIQ IZLU^ENIQ MAKSI- MALEN W CENTRE ZWEZDY, MONOTONNO UBYWAQ NARUVU. oTS@DA, MEVDU PRO- ^IM, MOVNO ZAKL@^ITX, ^TO U POLNOSTX@ KONWEKTIWNYH ZWEZD NEBOLX- [IH MASS, PREDSTAWLQ@]IH SOBOJ POLITROPY INDEKSA n = 3=2 (ZWEZDY gp TIPA M I PRARODITELXNICY ZWEZD NIVNEJ ^ASTI gp, NAHODQ]IESQ NA STADII GRAWITACIONNOGO SVATIQ) DAWLENIE IZLU^ENIQ MALO NE TOLXKO W CENTRE | WYWOD, K KOTOROMU MY PRI[LI E]E W RAZD. 3, | NO I PO WSEJ ZWEZDE. pO\TOMU EGO MOVNO NE U^ITYWATX WOWSE.

l@BOPYTNO, ^TO NA RANNIH \TAPAH KELXWINOWSKOGO SVATIQ (W WERH- NEJ ^ASTI TREKA hAQ[I, SM. RAZD. ??.??) ZWEZDA UMERENNOJ MASSY MOVET OBLADATX DOWOLXNO WYSOKOJ SWETIMOSTX@, I TEM NE MENEE, KAK MY TOLXKO ^TO USTANOWILI, DAWLENIE IZLU^ENIQ W NEJ DOLVNO BYTX NESU]ESTWENNO. w ZWEZDE VE gp, OBLADA@]EJ TOJ VE SWETIMOSTX@ (NO BOLX[EJ MASSOJ) ONO MOVET UVE IGRATX ZAMETNU@ ROLX.

w POLITROPAH S n > 3, SOGLASNO (3.7), ROLX DAWLENIQ IZLU^ENIQ S UDALENIEM OT CENTRA WOZRASTAET. hOTQ ZWEZD S RASPREDELENIEM PLOTNOS- TI, BLIZKIM K TOMU, KOTOROE IMEETSQ W POLITROPAH S n, ZAMETNO BOLX[IM 3, W PRIRODE, WIDIMO, NET, WYWOD O ROSTE WKLADA DAWLENIQ IZLU^ENIQ NA- RUVU PRI n > 3 WSE VE PREDSTAWLQET INTERES PO SLEDU@]EJ PRI^INE. s ROSTOM INDEKSA POLITROPY KONCENTRACIQ MATERII K CENTRU WOZRASTAET. pO\TOMU POLITROPY S n > 3 DOLVNY OBLADATX ZNA^ITELXNOJ KONCENTRA- CIEJ WE]ESTWA K CENTRU. wYWOD O ROSTE DOLI DAWLENIQ IZLU^ENIQ PRI UDALENII OT CENTRA U ZWEZD S TAKIM HARAKTEROM RASPREDELENIQ PLOTNOS- TI NE SWQZAN S KONKRETNYM EGO WIDOM (POLITROPA). zWEZDY VE S SILXNOJ KONCENTRACIEJ MATERII K CENTRU, HOTQ I MALO POHOVIE NA POLITROPY, WESXMA MNOGO^ISLENNY. tAKOWY, W ^ASTNOSTI, KRASNYE GIGANTY. mOVNO DUMATX | I DETALXNYE RAS^ETY ZWEZDNYH MODELEJ PODTWERVDA@T \TO, | ^TO U TAKIH ZWEZD ROLX DAWLENIQ IZLU^ENIQ BUDET S PRIBLIVENIEM K PO- WERHNOSTI WOZRASTATX.

nAKONEC, IMEETSQ ISKL@^ITELXNYJ SLU^AJ n = 3, KOGDA DOLQ DAWLE- NIQ IZLU^ENIQ NA WSEH GLUBINAH ODNA I TA VE. |TO ZNAMENITAQ W SWOE WRE- MQ \DDINGTONOWSKAQ STANDARTNAQ MODELX ZWEZDY (SM. SLEDU@]IJ PUNKT). zADAW ZNA^ENIE INDEKSA POLITROPY, MY FAKTI^ESKI FIKSIROWALI PROFILI DAWLENIQ I PLOTNOSTI. pROFILX VE TEMPERATURY PRI U^ETE DAWLENIQ IZLU^ENIQ, KAK LEGKO UBEDITXSQ, OPREDELQETSQ UVE NE TOLXKO ZNA^ENIEM n, NO I MASSOJ KONFIGURACII, TO^NEE, ZNA^ENIEM 2M (ES- LI n 6= 3). iNA^E \TO MOVNO SFORMULIROWATX TAK: PRI U^ETE DAWLENIQ

IZLU^ENIQ POLITROPY S n 6= 3 NE QWLQ@TSQ POLNOSTX@ GOMOLOGI^NYMI (ODNAKO ^ASTI^NAQ GOMOLOGI^NOSTX | PO DAWLENI@ I PLOTNOSTI | SO- HRANQETSQ). w SAMOM DELE, TAKIM VE PUTEM, KAK PRI = 1 RANEE BYLO NAJDENO (3.1), IZ SOOTNO[ENIQ P = (R = ) T TEPERX POLU^IM

T = Tc c :

pOSKOLXKU, ODNAKO, = ( ), GDE | RASSTOQNIE OT CENTRA W \MDE- NOWSKIH EDINICAH, I WID FUNKCII ( ) PRI RAZNYH 2M RAZNYJ, ^TO NEPOSREDSTWENNO SLEDUET IZ (3.8), HOD TEMPERATURY WDOLX RADIUSA OKA- ZYWAETSQ ZAWISQ]IM NE TOLXKO OT n, NO I OT 2M . pRI n < 3 SPAD TEMPERATURY NARUVU PROISHODIT BOLEE PLAWNO, PRI n > 3 | KRU^E, ^EM PRI = 1, T.E. W PREDELXNOM SLU^AE MALYH MASS (PODROBNEE SM. P. 5.3).

~TO KASAETSQ CENTRALXNOJ TEMPERATURY, TO U^ET DAWLENIQ IZLU^E- NIQ SNIVAET EE PO SRAWNENI@ SO SLU^AEM NORMALXNOJ POLITROPY TOJ VE MASSY I RADIUSA. kAK LEGKO WIDETX, W WYRAVENII DLQ Tc POQWLQETSQ DOPOLNITELXNYJ MNOVITELX c, TAK ^TO

USTUPAET MESTO BOLEE SLOVNOJ ZAWISIMOSTI. sKOROSTX ROSTA Tc S M PRI BOLX[IH M ZAMEDLQETSQ.

w PREDELXNOM SLU^AE O^ENX BOLX[IH MASS, KOGDA DAWLENIE IZLU^ENIQ

zDESX CENTRALXNAQ TEMPERATURA NE ZAWISIT OT MOLEKULQRNOGO WESA, PO- SKOLXKU GRAWITACII PROTIWOSTOIT DAWLENIE IZLU^ENIQ, A NE GAZA. pOKA NEQSNO, SU]ESTWU@T LI W PRIRODE OB_EKTY, OPISYWAEMYE RASSMATRIWA- EMYM PREDELXNYM SLU^AEM.

pOLU^ITE (3.10) TAKVE KAK PREDELXNYJ SLU^AJ (3.9), SOOTWETSTWU@]IJ

c << 1.

tABLICA V.3.1:

dOLQ DAWLENIQ IZLU^ENIQ W POLNOM DAWLENII W ZWEZDAH RAZNYH MASS, POSTROENNYH PO STANDARTNOJ MODELI

iTAK, STANDARTNAQ MODELX | \TO POLITROPA INDEKSA n = 3. nO PO- LITROPA S n = 3, KAK UVE UKAZYWALOSX (S. 134), QWLQETSQ WYROVDENNOJ: ZAWISIMOSTX OT RADIUSA W SOOTNO[ENII MASSA { RADIUS W \TOM SLU^AE WYPADAET, I MEVDU MASSOJ ZWEZDY M I POLITROPNYM PARAMETROM K IMEETSQ ODNOZNA^NAQ SWQZX WIDA

pRO]E WSEGO ONA POLU^AETSQ IZ (2.4), HOTQ SLEDUET, KONE^NO, I IZ SOOT- NO[ENIQ MASSA { RADIUS (2.5) { (2.6). s DRUGOJ STORONY, SOGLASNO (3.12) DLQ STANDARTNOJ MODELI K OPREDELQETSQ ZNA^ENIEM , ^TO POZWOLQET POLU^ITX SWQZX MEVDU M I :

tABLICA V.3.2:

pOPRAWO^NAQ FUNKCIQ " (A)

0.30.9404 100 0.9242

0.40.9314 500 0.9472

GDE M | MASSA, WYRAVENNAQ W MASSAH sOLNCA. kAK WIDIM, DLQ STANDART- NOJ MODELI S ZADANNYM HIMI^ESKIM SOSTAWOM (TO^NEE | S ZADANNYM ) MASSA ODNOZNA^NO OPREDELQET ZNA^ENIE .

pO SU]ESTWU SOOTNO[ENIE (3.14) UVE IZWESNO NAM IZ RAZD. IV.3. |TO ESTX NE ^TO INOE, KAK FORMULA (IV.3.2), W KOTOROJ STRUKTURNYJ PARAMETR bc WZQT SOOTWETSTWU@]IM POLITROPE S n = 3.

wKLAD DAWLENIQ IZLU^ENIQ W POLNOE DAWLENIE W ZWEZDAH RAZNYH MASS, POSTROENNYH SOGLASNO STANDARTNOJ MODELI, DAETSQ tABL. V.3.1 (SM. TAK- VE NIVN@@ KRIWU@ NA RIS. IV.3.1, S. 107).

zAMETIM, ^TO W PREDELXNYH SLU^AQH MALYH I BOLX[IH A DLQ KORNQ URAWNENIQ ^ETWERTOJ STEPENI

A 4 = 1 ;

NEIZMENNO POQWLQ@]EGOSQ PRI RAS^ETAH WKLADA DAWLENIQ IZLU^ENIQ, IME@T MESTO RAZLOVENIQ (PROWERXTE!)

pOLEZNO TAKVE PREDSTAWLENIE W FORME

= 11;;AA5=4 " (A)

GDE " (A) | UDOBNAQ DLQ INTERPOLIROWANIQ POPRAWO^NAQ FUNKCIQ, PRI WSEH A MALO OTLI^A@]AQSQ OT EDINICY (tABL. V.3.2).

pRIWEDEM DLQ SPRAWOK SWODKU OSNOWNYH PARAMETROW STANDARTNOJ MO- DELI. bOLX[INSTWO IZ NIH SLEDUET IZ OB]IH FORMUL DLQ POLITROP S n = 3. gAZ S^ITAEM POLNOSTX@ IONIZOWANNYM, TAK ^TO POKAZATELX ADIA- BATY = 5=3. kAK WSEGDA, M I R | MASSA I RADIUS W SOLNE^NYH EDI- NICAH.

pOD^ERKNEM, ^TO ZNA^ENIQ MNOVITELEJ W (3.15B) I (3.15F) ZAWISQT OT

2M (SM. tABL. V.3.1).

tAK KAK STANDARTNAQ MODELX | \TO POLITROPA INDEKSA n = 3, TO HOD OSNOWNYH FIZI^ESKIH PEREMENNYH | PLOTNOSTI, DAWLENIQ I TEMPERATU- RY | S UDALENIEM OT CENTRA DAETSQ OBY^NYMI DLQ POLITROP FORMULAMI

(r) = c 3( ) P (r) = Pc 4( ) T (r) = Tc ( )

GDE ( ) | FUNKCIQ |MDENA INDEKSA n = 3 I = 1r=R = 6:897 r=R. wWIDU WAVNOJ ROLI, KOTORU@ FUNKCIQ |MDENA DLQ n = 3 I SWQZANNYE S NE@ WELI^INY IGRA@T W TEORII STROENIQ ZWEZD (NE TOLXKO W STANDARTNOJ

152 gL.V. pOLITROPY

tABLICA V.3.3:

fUNKCIQ |MDENA INDEKSA n = 3 I SWQZANNYE S NEJ WELI^INY KAK FUNKCII DOLI RADIUSA x r=R

MODELI!), PRIWODIM DLQ SPRAWOK TABLICY EE ZNA^ENIJ, ZNA^ENIJ EE PRO- IZWODNOJ PO PROSTRANSTWENNOJ PEREMENNOJ I PO INDEKSU n W FUNKCII DOLI RADIUSA (tABL. V.3.3) I DOLI MASSY (tABL. V.3.4).

tABLICA V.3.4:

fUNKCIQ |MDENA INDEKSA n = 3 I SWQZANNYE S NEJ WELI^INY KAK FUNKCII DOLI MASSY q Mr =M

MODELI, KOTOROE MOVNO ZAPISATX W WIDE

E = E2G :

tAK KAK EG < 0, TO POLNAQ \NERGIQ KONFIGURACII OTRICATELXNA. sTAN- DARTNAQ MODELX | PRIMER POLITROPY INDEKSA n = 3 S E < 0, USTOJ^IWOJ OTNOSITELXNO RADIALXNYH KOLEBANIJ. sOGLASNO FORMULE (3.13), W DAN- NOM SLU^AE POLITROPNYJ PARAMETR K ZAWISIT OT MASSY ZWEZDY I NE QWLQETSQ FIKSIROWANNOJ POSTOQNNOJ, HARAKTERIZU@]EJ KONFIGURACII L@BOJ MASSY, POSTROENNYE SOGLASNO STANDARTNOJ MODELI.

wYWOD PRIWEDENNOJ TOLXKO ^TO FORMULY DLQ POLNOJ \NERGII ZWEZDY E = ( =2)EG SOWSEM PROST. pUSTX eKIN I eIZL | SOOTWETSTWENNO OB_EM- NYE PLOTNOSTI TEPLOWOJ \NERGII GAZA I \NERGII IZLU^ENIQ. s^ITAQ GAZ NERELQTIWISTSKIM, IMEEM Pg = (2=3)eKIN, POLE VE IZLU^ENIQ | \TO ULXT-