vk6..9com/club152685050. Спин. Фермионы| vk.com/id446425943и бозоны. Принцип Паули. Многоэлектронные атомы.
Используются материалы из: Фаддeев М.А., Чупрунов Е.В. Лекции по атомной физике (2008, Физматлит).
•Волновая механика Шредингера вскоре была дополнена рядом новых положений, что позволило корректно описать магнитные свойства атомов, «тонкую структуру» атомных спектров, а также свойства многоэлектронных атомов – все то, что не могло быть описано «старой квантовой теорией».
•Одно из таких дополнений состояло во введении понятия «спина» -- собственного, «внутреннего» момента количества движения микрообъектов.
•Еще в 1925 г. была выдвинута гипотеза о вращении электрона вокруг своей оси («spin»), что, в принципе, могло бы позволить объяснить наличие у него собственного момента импульса и магнитного момента. Это потребовалось для объяснения дублетной структуры оптических спектров щелочных металлов и результатов экспериментов по изучению магнетизма атомов – опыта ШтернаГерлаха и др.
•Однако численные оценки показали несостоятельность этого предположения –
для получения магнитного момента, равного магнетону Бора, требовалось |
|
предположить либо большой радиус электрона, либо сверхсветовую скорость |
|
вращательного движения. |
1 |
|
• vk.com/club152685050В 1927 году В. Паули| vk.com/id446425943сумел непротиворечивым
образом включить концепцию спина в квантовую механику. Спин рассматривается как собственный момент импульса микрообъекта, не связанный с ни с перемещением, ни с вращением в пространстве. Изменение величины его проекции на выделенное направление представляет собой «внутреннюю степень свободы», дополнительную по отношению к координатам. Уравнение Шредингера, специальным образом дополненное для учета наличия этой степени свободы, получило название «уравнения Паули».
•(В 1928 г. Дирак показал, что существование спина следует из релятивистской теории.)
Wolfgang Ernst Pauli
(1900-1958)
•Каждый микрообъект характеризуется параметром s, обычно (не вполне корректно) называемым спином. Это его инвариант, наряду с массой покоя и зарядом.
•Число возможных проекций «внутреннего» момента количества движения
(собственных значений Sz оператора проекции спина, различающихся на ħ), для объекта равняется 2s+1 . Это целое число, поэтому s может быть лишь целым или полуцелым.
•Для электрона s=1/2, что соответствует двум значениям проекции момента импульса
•vk.com/club152685050Микрообъекты с| полуцелымvk.com/id446425943спином s называют фермионами, с целым – бозонами.
•Помимо электрона, фермионами являются протон и нейтрон. Для них, как и для
электрона, s=1/2.
•Фотон является бозоном с s=1, проекции момента импульса Sz= ħ (для частиц без массы покоя нулевое значение запрещено).
•Помимо момента импульса, со спином связан и магнитный момент. Раздвоение линий в опыте Штерна-Герлаха было связано именно со спиновым магнитным моментом.
•В атомах спиновые и орбитальные магнитные моменты взаимодействуют между собой и с электрическим полем ядра. В проведенном рассмотрении состояний атома водорода такое взаимодействие, называемое «спин-орбитальным», не учитывалось – потенциальная составляющая гамильтониана соответствовала простому кулоновскому притяжению электрических зарядов.
•Спин-орбитальное взаимодействие вносит небольшие добавки в энергии состояний, снимающие вырождение многих из них. Следствием является появление «тонкой структуры» оптических спектров – то, что многие спектральные линии представляют собой дублеты, триплеты и т.д.
Энергии состояний зависят от квантовых чисел
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
(Квантовое число j определяет полный (орбитальный и спиновый) момент импульса состояния.
n и j)
4
• vk.com/club152685050Представление о| vkспине.com/id446425943микрообъектов позволяет объяснить также существование т.н. «правил отбора», выделяющих среди пар стационарных состояний атомов такие, между которыми возможны переходы с излучением или поглощением
фотонов. (О таких правилах говорилось еще применительно к модели Бора-Зоммерфельда.)
•Одно из таких правил: орбитальные квантовые числа начального и конечного состояний радиационного перехода l1 и l2 должны удовлетворять условию
l =l1 – l2 = 1 .
Это правило можно рассматривать как отражающее закон сохранения момента импульса. Фотон обладает спином s=1 и при излучении «уносит» ненулевой момент импульса, в подавляющем большинстве случаев ħ. Поэтому «запрещенным» (маловероятным), например, оказывается переход 2s→1s между двумя состояниями с l=0.
•На следующем слайде приведены примеры анализа тонкой структуры некоторых линий спектра испускания водорода, учитывающий правила отбора.
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
Линия содержит 5 компонент тонкой структуры, т.к. энергии состояний с равными n и j (даже при разных l) одинаковы.
Все линии – дублеты.
• vk.com/club152685050Разработанная теория| vk.com/id446425943может быть применена и к квантовым системам, более сложным, чем атом водорода. В частности, к многоэлектронным атомам.
•Экспериментальные данные свидетельствуют, что спектры состояний многоэлектронных атомов дискретны. Об этом говорит, в частности, линейчатый характер оптических спектров многоэлектронных атомов и результаты изучения атомных столкновений (опыт Франка-Герца и последующие опыты).
•В первом приближении (в пренебрежении спин-орбитальным взаимодействием)
нейтральный атом можно представить системой из Z электронов (масса m, заряд
–e) и ядра с зарядом Ze, взаимодействующих посредством кулоновских сил. Волновая функция (пространственная часть) представляется зависящей от координат всех электронов: = (r1, r2 ,..., rZ )
Гамильтониан такой системы будет иметь вид:
H = − |
2 |
Z |
Ze2 Z 1 |
+ |
e2 |
|
Z Z |
1 |
|
|
|
|
k − |
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, где |
|
2m k =1 |
4 0 k =1 |
rk |
|
|
4 |
0 k =1 k =k +1 |
rk − rk |
|
|
k – лапласиан для k-того электрона, в декартовых координатах имеющий вид
• vk.com/club152685050Энергии стационарных| vk.com/id446425943состояний должны находиться путем решения стационарного уравнения Шредингера
ˆ =
H E .
•Однако даже в данном приближении это уравнение не имеет аналитических
решений. (Решения заведомо существуют, но не могут быть выражены через аналитические
функции.) Поэтому используются способы приближенного, в том числе, численного решения.
•Результаты теоретического исследования многоэлектронных систем потребовали введения (постулирования) некоторых дополнительных принципов и представлений.
•Одно из них – представление о тождественности микрочастиц.
•Все электроны обладают одинаковыми параметрами: массой, зарядом и спином. В классической физике частицы можно различить, отслеживая их траектории. Однако для микрообъектов (электронов), входящих в состав квантовых систем, этого не позволяет сделать принцип неопределенности.
• vk.com/club152685050Поэтому частицы| vkполагают.com/id446425943тождественными – не просто одинаковыми, а совпадающими, неразличимыми. Признание этого накладывает дополнительные
требования на вид волновых функций квантовых систем
= (r1, r2 ,..., rZ ) .
Они должны обладать свойством некоторой симметрии по отношению к перестановкам аргументов ra rb .
•Математически доказывается, что это требование в конечном итоге приводит к результату, известному как принцип запрета Паули или просто принцип Паули:
«В системе тождественных фермионов все частицы должны находиться в различных состояниях.»
•Заметим: бозоны (частицы с целым спиновым числом) не должны подчиняться этому принципу.
•Принцип запрета был предложен Паули в 1925 г., еще до создания волновой механики. Как и постулаты Бора, его можно считать базовым постулатом, отражающим совокупность экспериментальных данных. В последующие теории эти постулаты входят в ином качестве – как следствия их собственных базовых положений. Таким образом работает принцип соответствия.
•В описании многоэлектронных атомов принцип Паули играет важнейшую роль.
• vk.com/club152685050Наиболее часто|используемыйvk.com/id446425943метод расчета волновых функций многоэлектронных атомов – метод Хартри-Фока ( или метод самосогласованного поля).
• Общую волновую функцию системы |
= (r |
, r |
,..., r ) |
|
|
|
1 |
2 |
Z |
представляют через волновые функции k (r ) , каждая из которых описывает |
состояние отдельного (k-того) электрона поле, создаваемом совместно ядром и |
остальными (Z–1) электронами, пребывающими в других (в соответствии с |
принципом Паули) состояниях. Поле электронов характеризуется эффективным |
потенциалом |
, волновая функция k (r ) |
получается решением уравнения |
Шредингера
с гамильтонианом
ˆ |
|
2 |
Ze2 |
1 |
|
|
(eff ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+Uk . |
Hk |
= − |
|
k − |
4 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
rk |
|
|
|
•Полная энергия состояния атома получается суммированием энергий одноэлектронных состояний Ek .
