•vk.com/club152685050Ортогональность| vk.означаетcom/id446425943, что ни одна собственная функция оператора не может быть разложена в ряд (представлена линейной комбинацией) других собственных функций того же оператора. Полнота означает, что любую другую (несобственную) функцию можно разложить в ряд по собственным функциям
такого оператора. (Формулировки даны для случая дискретных спектров собственных
значений. Для непрерывных спектров ряды заменяются интегралами.)
Вернемся к волновой механике.
Шредингер предположил (постулировал) следующее.
•Каждой наблюдаемой динамической (способной изменяться) характеристике f
микрообъекта (координате, энергии, импульсу и т.д.) может быть сопоставлен
(эрмитов) оператор ˆ такой, что множество всевозможных (действительных)
F
значений, которые могут быть зафиксированы как результат эксперимента по измерению величины f , совпадает со спектром собственных значений
оператора Fˆ .
•Пусть cостояние микрообъекта перед проведением измерений характеризуется волновой функцией , являющейся решением временнóго уравнения Шредингера.
•vk.com/club152685050Если эта волновая| vk.com/id446425943функция , характеризующая состояние микрообъекта, будучи решением уравнения Шредингера, одновременно является и
решением уравнения
ˆ =
F f ,
то есть, является одной из собственных функций оператора ˆ , то в
F
результате измерения будет получено соответствующее ей собственное значение f . Говорят, что величина имеет определенное значение f .
•Если волновая функция микрообъекта не является собственной функцией
оператора ˆ , то описываемый им физический параметр не имеет
F
определенного значения. Результат его измерения недетерминирован – в опыте может быть получено любое из собственных значений fk оператора
•Вероятность получения данного собственного значения fk определяется из
соотношения: |
|
|
2 |
|
|
|
|
W ( f = fk ) |
= |
ck |
, |
|
|
|
где ck – коэффициенты разложения в ряд функции по (обладающему |
свойством полноты) набору собственных функций k оператора |
ˆ |
F : |
(r ,t) = ck k (r ,t) |
|
|
|
|
|
2 = 1 .) |
|
|
|
(Считается, что |
|
ck |
k |
|
|
|
|
k |
8 |
|
|
|
|
|
• (Формулировки приведены для случая дискретного спектра собственных значений
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
ˆ
оператора F , но могут быть расширены и для произвольный случай.)
•В результате проведения измерения система переходит из исходного состояния
в состояние, характеризуемой собственной функцией k оператора ˆ ,
F
соответствующей полученному значения параметра f =f k .
•Логическое обоснование представления величин операторами:
Состояние микрообъекта полностью определяется волновой функцией.
Какие-либо значения измеримых динамических параметров внутренне не присущи ни самому микрообъекту, ни его состоянию.
Получаемое значение измеряемой величины f является результатом
некоторого действия, операции проведения измерения (Fˆ), применяемой к микрообъекту в имеющемся состоянии ( ).
Сказанное не относится к параметрам, которые в рамках квантовой механики характеризуют сам микрообъект, а не его состояния – таким, как масса (покоя) и электрический заряд.
vk.com/club152685050Измеряемым динамическим| vk.com/id446425943параметрам микрообъектов сопоставляются следующие линейные эрмитовы операторы:
Оператор координаты
|
x = x |
• Как уже говорилось, имеет вид: |
ˆ |
•Собственные функции этого оператора – дельта-функции:
= 0, |
при x x |
|
(здесь возникают некоторые сложности |
|
0 |
|
(x − x0 ) |
при x = x0 |
|
с удовлетворением требованию непрерывности) |
0, |
|
|
|
|
|
•Условие уравнения на собственные значения
x (x − x0 ) = x0 (x − x0 )
удовлетворяются при любых x0 . Следовательно, спектр собственных значений данного оператора – сплошной и совпадает с множеством действительных чисел.
•Легко видеть, что собственные функции оператора координаты именно таковы, что координата объекта может быть достоверно определена.
•Измерение координаты предполагает помещение в положении x0 детектора или щели, в идеальном случае – бесконечно узких, и фиксацию факта прихода на них частицы. Взаимосвязь оператора и метода измерения очевидна.
vk.com/club152685050Оператор (проекции| vk.com/id446425943) импульса
•Вспомним, что определенный волновой вектор и, следовательно, импульс имеет волна де Бройля, представляемая в виде:
(r , t) = А exp[i (kr − t)]
• Для волны, распространяющейся вдоль оси x, с учетом соотношения между
проекциями импульса (px) и волнового вектора: |
|
(x,t) = Аexp[i |
( |
px |
x − t)] |
(*) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
(x,t) = i |
px |
|
Аexp[i ( |
px |
x − t)] |
или |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
− i |
(x,t) = p |
(x,t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• Это соотношение можно рассматривать как уравнение на собственные
значения для оператора проекции импульса, имеющего вид:
pˆ x = −i x
• Его собственные функции – гармонические волны, представленные (*). Спектр собственных значений – множество вещественных чисел.
• Собственные функции именно таковы, чтобы значение проекции импульса
было точно определено (через проекцию волнового вектора волны де Бройля).
11
•vk.com/club152685050Очевидно, что операторы| vk.com/id446425943других проекций импульса могут быть определены
|
аналогично: |
= −i |
|
pˆ z = −i |
|
|
pˆ y |
|
y |
|
|
z |
|
|
|
|
•Векторный оператор импульса можно выразить через дифференциальный
оператор («набла», градиента): |
|
ˆ |
|
p = −i |
•Нетрудно показать, что операторы координаты и одноименной проекции импульса не коммутируют.
[xˆ, pˆ x ] (r ,t) = −xi |
|
+ i |
(x ) |
= −xi |
|
+ xi |
|
+ i |
x |
= i (r ,t) |
|
x |
|
x |
|
x |
|
x |
|
x |
|
|
ˆ ˆ |
] = i I i |
Их коммутатор равен |
[x, px |
|
ˆ |
•Соотношение неопределенностей Гейзенберга x px ~ 2 ħ можно считать следствием того, что соответствующие операторы не коммутируют.
•Некоммутирующие операторы не имеют общих собственных функций, для которых значения координаты и соответствующей проекции импульса имели бы одновременно определенные значения.
•Эти собственные функции – гармонические волны и дельта-функции –
действительно весьма различны. |
12 |
|
• Нетрудно показать, что оператор координаты коммутирует с оператором |
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943 |
|
|
«чужой» проекции импульса. Например, |
ˆ ˆ |
] = 0 |
|
[x, pу |
Соответствующие им величины могут одновременно иметь точные значения.
•Попарно коммутируют между собой операторы координат xˆ , yˆ , zˆ . Следовательно, радиус-вектор микрообъекта может быть точно определен.
ˆ |
, |
ˆ |
, |
ˆ |
• Это же относится и к вектору импульса (его компоненты px |
py |
pz |
попарно коммутируют) – но не одновременно с радиус-вектором.
Оператор полной энергии (гамильтониан)
•В классической физике функция Гамильтона представляет полную энергию системы через импульсы и координаты частиц. Включает в себя части, представляющие потенциальную и кинетическую составляющие энергии. Для одной частицы массы m в силовом поле, описываемом зависимостью
) функция Гамильтона имеет вид:
|
p2 |
|
H (r , p) = |
|
+U (r ) |
2m |
•Составим соответствующий оператор, используя полученное выражение для
операторов проекций импульса. |
13 |
|
•vk.com/club152685050Оператор должен| vk.com/id446425943состоять из суммы операторов потенциальной и кинетической составляющих энергии.
•Для потенциальной энергии (функции только координат):
ˆ |
|
или |
ˆ |
|
U (r ) = U (r ) |
U = U (r ) |
(при наличии зависимости от времени оператор имел бы тот же вид)
•Функцию кинетической энергии можно представить как:
T= 21m ( px2 + py2 + pz2 )
•Квадрату проекции импульса соответствует оператор:
pˆ |
2 |
= ( pˆ |
|
pˆ |
|
) = −i |
|
(−i |
|
) = − 2 |
2 |
x |
x |
x |
|
|
x2 |
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
•Оператор кинетической энергии запишется:
ˆ |
|
1 |
( pˆ |
2 |
+ pˆ |
2 |
+ pˆ |
2 |
|
2 |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
T |
= |
|
x |
y |
z |
) = − |
|
|
|
2 |
+ |
|
2 |
+ |
|
2 |
|
= − |
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
z |
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
•И, наконец, оператор полной энергии (гамильтониан) частицы в силовом поле:
•Эта запись уже встречалась нам в уравнении Шредингера, полученном (нестрого) из волнового уравнения через уравнение Гельмгольца.
•vk.com/club152685050Само стационарное| vk.com/id446425943уравнение Шредингера в форме
ˆ =
H (r , t) E (r , t)
очевидно представляет собой уравнение на собственные значения гамильтониана. Ранее оно (для пространственных частей полных волновых функций) было получено нами из других соображений.
Ему удовлетворяют волновые функции состояний, характеризуемых определенными значениями энергии E.
• Следовательно, спектр собственных значений оператора Гамильтона для заданного вида силового поля U (r ) задает спектр значений энергии системы.
• Теория показывает, что этот спектр дискретен, если волновые функции пространственно ограниченны – например, размерами атома. Таким образом, волновая механика объясняет дискретность «разрешенных» значений энергии (стационарных состояний) атома без необходимости введения дополнительных постулатов.
• Гамильтониан (в отличие от операторов координат и импульса) определяется конкретными условиями, в которые помещается описываемый микрообъект или
система микрообъектов в рассматриваемой задаче.
15
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
•Помимо случая частицы в силовом поле, нетрудно составить гамильтонианы и для других практически важных случаев. С этого шага часто начинается решение квантовомеханических задач.
•Например, гамильтониан системы двух частиц, имеющих массы m1 , m2 , электрические заряды q1 , q2 и взаимодействующих посредством кулоновской силы:
ˆ |
2 |
|
|
2 |
|
|
q q |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
H = − |
2m |
1 |
− |
2m |
2 |
+ |
4 0 |
r12 |
|
|
|
|
|
Здесь r12 – расстояние между точками, имеющими координаты x1, y1, z1 и x2, y2,
z2. В лапласианах производится дифференцирование по координатам соответствующих частиц:
1 = |
2 |
+ |
2 |
+ |
2 |
2 = |
2 |
+ |
2 |
+ |
2 |
|
x2 |
y2 |
z2 |
x2 |
y2 |
z2 |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
и |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Искомая волновая функция должна быть определена в конфигурационном пространстве:
= (x1,y1,z1,x2, y2, z2)
