•vk.com/club152685050При этом дискретный| vk.com/id446425943характер разрешенных (стационарных) значений энергии атома объясняется в волновой механике Шредингера более естественным образом, чем при использовании «искусственных» постулатов Бора. Можно сказать, что сами эти постулаты получили свое объяснение.
•Стационарное уравнение Шредингера – одно из основных уравнений волновой механики. Исключив из него E , можно прийти к другому, еще более
общему уравнению, позволяющему описывать и нестационарные состояния, которым не соответствует никакое определенное значение энергии.
•Будем основываться на использованном представлении волновой функции в виде, справедливом для состояний с определенной энергией:
(r , t) = (r ) exp( −i t)
• Для него справедливо: |
|
= −i = −i |
E |
или |
|
|
t |
|
E = i |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
•В стационарном уравнении Шредингера можно домножить все члены на временную часть волновой функции и выделить слагаемое, зависящее от E:
E = − 2 +U (r ) 2m
8
•vk.com/club152685050Итого, получаем| vk: .com/id446425943
i = − 2 +U (r )
t 2m
Это уравнение называют «временным уравнением Шредингера».
•Вводят обозначение: оператор Гамильтона (гамильтониан)
С его использованием стационарное и временнóе уравнения Шредингера могут быть записаны в виде:
ˆ |
|
|
|
|
H (r ) |
= E (r ) |
|
i |
(r ,t) |
ˆ |
|
t |
|
= H (r ,t) |
|
|
|
|
(стационарное)
(временнóе)
•Подчеркнем еще раз, что уравнение Шредингера (в любой форме) не может быть выведено из каких-либо более фундаментальных законов. Оно представляет собой первичный постулат (закон природы), лежащий в основе
квантовой механики. Его справедливость доказана согласием с |
|
экспериментом. |
9 |
|
•vk.com/club152685050Если состояние| vkквантовой.com/id446425943системы в текущий момент известно и описывается волновой функцией (r ,t) , временное уравнение Шредингера позволяет описать динамику изменения волновой функции на будущее, то есть, достоверно предсказать все будущие состояния системы.
•Физический смысл волновой функции определяет дополнительные требования
кее свойствам. Она должна быть непрерывной, иметь непрерывную производную по координате, быть однозначной и ограниченной.
•Волновая функция определена с точностью до фазового множителя exp(i ), где – произвольное вещественное число. Такой множитель не влияет на величину квадрата модуля волновой функции, имеющую физический смысл.
•Квадрат модуля волновой функции выражается произведением:
|
|
2 |
= * |
(Звездочка означает комплексное сопряжение.) |
|
|
|
|
|
|
Поэтому условие нормировки волновой функции может быть записано как:
* dV =1
•В области, где потенциальная энергия бесконечна, волновая функция должна быть равной 0. Из свойства непрерывности, она должна обращаться в 0 на границе такой области.
• Поскольку уравнение Шредингера линейно, можно сформулировать |
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943 |
|
|
следующий принцип суперпозиции: |
если система может находиться в |
нескольких состояниях, описываемых волновыми функциями |
|
1(r ,t), 2 (r ,t),..., n (r ,t),... |
, |
|
то она может находиться и в состоянии с волновой функцией |
|
(r ,t) = c1 1(r ,t) + c2 2 (r ,t) +... + cn n (r ,t) +... |
, |
где сk – произвольные коэффициенты.
Итак, два основных положения (постулата) квантовой механики «в координатном представлении» можно кратко изложить следующим образом:
•Состояние квантовомеханической системы характеризуется волновой функцией в конфигурационном пространстве.
•Волновая функция подчиняются уравнению Шредингера
i = − 2 +U (r )
t 2m
Оставшиеся два основных положения связывают волновые функции с
наблюдаемыми физическими величинами.
11
6.5. Представление наблюдаемых физических величин линейными
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
эрмитовыми операторами. Начальные сведения из теории операторов. Вид и свойства операторов координат, импульса, энергии, проекций и квадрата момента импульса
•Результатом решения теоретической задачи волновой (квантовой) механики является нахождение волновой функции .
•Эта функция дает статистическое описание недетерминированного поведения микрообъекта: квадрат ее модуля 2 * пропорционален вероятности обнаружения частицы в окрестности заданной точки.
•Однако в эксперименте, помимо самого факта присутствия частицы, могут определяться ее динамические (способных изменяться) параметры – такие, например, как энергия или импульс.
•В классической механике они могут быть вычислены исходя из мгновенных значений координат и импульсов.
•Квантовая механика также должна была предложить способ предсказания результатов измерений динамических величин.
•Может ставиться задача расчета вероятностей получения тех или иных значений наблюдаемой величины. Или предсказания среднего ее значения.
•Процедура определения этих параметров по виду волновой функции не
•vk.com/club152685050Шредингер предложил| vk.com/id446425943достаточно простой, но неожиданный метод сопоставления значений наблюдаемых величин волновым функциям:
-каждой наблюдаемой величине по определенным правилам ставится в соответствие линейный эрмитов оператор;
-собственные значения этого оператора задают спектр возможных значений наблюдаемой величины, а коэффициенты разложения волновой функции в ряд (или интеграл) по собственным функциям оператора – вероятность обнаружения данного значения в эксперименте.
•Эти утверждения представляют (в несколько упрощенном виде) два основных положения нерелятивистской волновой механики – в дополнение к положениям о волновой функции и об уравнении Шредингера.
•Естественно, они требуют дополнительных пояснений.
Для начала, приведем некоторые начальные сведения из теории операторов.
•В математике функция – это правило, однозначно сопоставляющее элементу некоторого множества элемент другого множества. Чаще всего, число сопоставляется числу.
•Оператор – правило, сопоставляющее одной функции другую функцию.
• Операторы обычно обозначают буквами со «шляпкой». Например, если
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
оператор сопоставляет функции функцию , это запишется как:
ˆ =
F
•Простейший пример – единичный оператор, сопоставляющий любой функции
•Нулевой оператор равную нулю.
ˆ сопоставляет любой функции функцию, тождественно
O
•Или оператор пространственной инверсии, изменяющий знак пространственных аргументов функции:
ˆ = −
P (r ) ( r )
•Оператор называется линейным, если для любых (комплексных) чисел c1 и c2 и для любых функций и выполняется равенство:
ˆ |
ˆ |
ˆ |
G (c1 + c2 |
) = c1G + c2G |
Нетрудно видеть, что приведенные выше (и далее) операторы линейны.
•Простейший из используемых в волновой механике операторов – оператор координаты. Его действие сводится к умножению функции на координату:
xˆ (r ) = x (r )
• Оператор любой функции координат: его действие сводится к умножению на
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
U (r ) (r ) = U (r ) (r )
•Оператор дифференцирования сопоставляет любой функции ее производную (первую, вторую, …) по времени или по координате:
ˆ (r ) =х x
(При использовании таких операторов «шляпки» обычно опускают.)
•Суммой операторов называется оператор, действие которого на произвольную функцию вычисляется по правилу:
ˆ + ˆ = ˆ + ˆ
(F G) F G
•Произведением операторов называется оператор, действие которого на произвольную функцию вычисляется по правилу:
ˆ ˆ = ˆ ˆ
(FG) F(G )
(Сначала на функцию действует оператор-второй сомножитель, затем на результирующую функцию действует оператор-первый сомножитель.)
•Порядок операторных сомножителей может быть важен: в общем случае
Говорят, что «умножение операторов некоммуникативно».
4
•vk.com/club152685050Коммутатором |двухvk.com/id446425943операторов (в общем случае не равным нулевому оператору) называется оператор:
ˆ ˆ = ˆ ˆ − ˆ ˆ
[F,G] FG GF
•Если коммутатор равен нулю, говорят, что операторы являются коммутирующими. Пример – операторы производных по разным координатам.
•Действие многих операторов существенно изменяет вид функции. Примером может служить тот же оператор дифференцирования.
В отношении каждого линейного оператора ˆ можно поставить вопрос о
F
существовании специфических для него, т.н. «собственных функций» f , действие данного оператора на которые сводится к умножению функции на некоторое число f – «собственное значение» (или «собственное число»)
оператора. Математически это условие выражается «уравнением на собственные значения»:
ˆ |
= f f |
или просто |
ˆ |
. |
F f |
F = f |
•Пример: собственными функциями оператора дифференцирования являются экспоненты. Каждой из них соответствует свое собственное число:
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
F f
ˆ =
•Не любому значению числа f соответствуют какие-либо собственные функции данного оператора. При этом некоторым значениям собственных чисел могут соответствовать несколько собственных функций (тогда они называются вырожденными).
•Спектры (полные наборы) собственных значений разных операторов существенно различаются. Они могут быть сплошными, например, совпадать со множеством вещественных чисел или находиться в некотором интервале значений. Могут быть дискретными. Могут состоять из дискретной и непрерывной частей.
•«Эрмитовы» (самосопряженные) операторы отличаются тем, что все их собственные значения вещественны.
•В теории операторов доказывается, что операторы могут иметь общие собственные функции, только если они коммутируют. (Это свойство важно для
дальнейшего рассмотрения.)
•В теории операторов доказывается также, что наборы собственных функций широкого класса операторов обладают свойствами ортогональности и полноты.
