• Помимо координат и импульсов, существуют и другие пары сопряженных величин,
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
которые не могут быть одновременно точно определены. В частности, это относится
к паре энергия-время: |
|
t |
> 2 ħ |
|
~ |
•Импульс частицы пропорционален волновому числу волны де Бройля, и поэтому не может быть локализован в пространстве. Точно так же, энергия частицы пропорциональна частоте волны де Бройля, и поэтому не может быть локализована во времени – можно рассмотреть соответствующие волновые пакеты.
•Таким образом, точное значение энергии может быть определено лишь для долгоживущих (стационарных, t→) состояний квантовых систем.
•Для макроскопических объектов принцип (закон) неопределенности не имеет обнаружимых последствий. Поэтому он не был открыт до XX века.
•Спектры возможных состояний для них столь «плотны», что «соседние» состояния с определенными величинами координат и импульса близки до неразличимости.
•Проведем оценку для тела массой M =1 г =10–3 кг. Пусть его координата определена с точностью x = 1 мкм = 10–6 м. Тогда ограничение, налагаемое соотношением неопределенностей на точность определения его скорости, будет выглядеть как:
v 2 ħ / (M x) 6.62 10–34 /(10–3 10–6) [м/с] ~ 10–24 [м/с] .
Такая погрешность, очевидно, не могла быть обнаружена на практике.
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
• В своей первой работе (1927 г.), посвященной принципу неопределенности, Гейзенберг сделал вывод, что «квантовая механика определенно установила несостоятельность принципа причинности». Этот вывод не вполне верен.
• Под принципом причинности понималась концепция «лапласова детерминизма»: положение о том, что если точно задать координаты и импульсы всех частиц (состояние системы), принципиально возможно предсказать ее дальнейшее поведение на сколь угодно долгий срок.
• Принцип неопределенности делает невозможным точное определение координат и импульсов в какой-либо момент времени. Следовательно, и предсказание будущих состояний системы кажется невозможным.
• В действительности, состояние квантовой системы может быть точно определено – хотя и не через задание координат и импульсов частиц. Возможно и построение решений квантовых задач для всех моментов времени.
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
Итого:
•Принцип неопределенности Гейзенберга представляет собой фундаментальный закон природы.
•Он устанавливает границы возможности использования применительно к микрообъектам классических представлений о частицах как о материальных точках, состояние которых исчерпывающе характеризуется заданием координат и импульсов.
•При этом он никак не раскрывает законов, которые могли бы быть использованы за этими границами. Эта задача решается квантовой механикой.
6.4. Волновая механика Шредингера. Уравнение Шредингера для волновой
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
функции. Свойства волновых функций
•Для построения теории, описывающей поведение микрообъектов атомных масштабов, понадобилось около четверти века.
•Основные идеи нерелятивистской квантовой механики были сформулированы в 1925-26 гг. в работах В. Гейзенберга, Э. Шредингера, П. Дирака и М. Борна.
•Квантовая механика – теория, более общая по отношению к классической механике. Она переходит в классическую механику при рассмотрении макроскопическими объектов.
•Вместе с тем, в квантовой механике для описания взаимодействия между электронами и фотонами сохраняется представление о потенциальной энергии взаимодействия заряженных объектов между собой и с излучением, понимаемым классически.
•Более фундаментальная по отношению к квантовой механике дисциплина – квантовая электродинамика, явным образом учитывающая дискретность как
вещества, так и излучения (через предложенную П.
Дираком процедуру «вторичного квантования»). |
Paul Dirac |
|
• В 1925 г. В. Гейзенберг заложил основы матричной
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
(нерелятивистской) квантовой механики.
•В 1926 г. Э. Шредингер построил нерелятивистскую волновую механику на основе (еще не подтвержденной тогда) гипотезы де Бройля.
•При несхожести подходов эти две теории приводили к одинаковым выводам. Вскоре Шредингер доказал, что эти две теории математически эквивалентны. Их общее современное название – «нерелятивистская квантовая механика».
•Шредингеровский подход более прост для начального ознакомления. Он и используется в дальнейшем.
Erwin Schrödinger
(1887-1961)
• В классической механике состояние частицы описывается значениями ее
координат и импульса, а движение – зависимостью координат и импульса от |
|
|
|
|
времени: r (t), p(t) . Для определения этих функций используют уравнения |
движения. Например, второй закон Ньютона. |
• Для системы частиц определяются координаты и импульсы каждой из них: |
|
|
|
|
r1 |
(t), r2 |
(t),... p1 |
(t), p2 (t)... |
|
|
|
2 |
•vk.com/club152685050В волновой механике| vk.com/id446425943«в координатном представлении» состояние частицы характеризуется комплекснозначной волновой функцией («амплитудой вероятности») (r ,t) .
•Траектория частицы не может быть определена, о движении речь может идти только «в широком понимании», как о временной зависимости.
•Квадрат модуля амплитуды вероятности имеет смысл «плотности
вероятности»: он пропорционален вероятности dw обнаружить микрообъект в момент t в объеме dV вблизи данной точки пространства: ,t) 2 dVdw = (r
•Вследствие этого на волновую функцию часто накладывают условие нормировки, означающее, что частица с единичной вероятностью находится где-то в ограниченной области пространства (интеграл должен сходиться):
(r ,t) 2 dV =1
•Для описания состояния замкнутой системы из нескольких (N) микрообъектов используют волновую функцию, определенную в «конфигурационном
пространстве» размерности 3N. Например, для N=2 вероятность обнаружить первую частицу в объеме dV1 вблизи точки r1 и вторую частицу в dV2 вблизи точки r2 определяется как: dw = (r1, r2 ,t) 2 dV1dV2
•vk.com/club152685050Далее следует |найтиvk.com/id446425943уравнение, которое можно было бы использовать для вычисления волновой функции в любых заданных условиях.
•В соответствии с результатами экспериментов, для свободного пространства, в отсутствие действующих на микрообъект силовых полей, решение такого уравнения должно иметь вид волны де Бройля
(r , t) = А exp[i (kr − t)] .
Частота и волновой вектор сопоставляются классическим энергии и импульса
•Математическое представления волны де Бройля аналогично выражению для электромагнитной волны. Можно предположить, что и в остальных случаях аналогия с волновой оптикой подскажет правильный вид искомого уравнения.
•Распространение любых волн в пространстве описывается «волновым уравнением» вида
|
1 |
|
2 (r ,t) |
|
|
(r ,t) − |
|
|
|
|
|
= 0 |
v2 |
t 2 |
|
|
2 = |
2 |
+ |
2 |
|
x2 |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
, где -- характеризующая волну скалярная величина; v – (фазовая) скорость волны;
+ |
2 |
|
4 |
z 2 |
|
|
|
– |
оператор Лапласа (лапласиан). |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
(r ,t) |
|
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943 |
(r ,t) − |
|
|
|
|
|
= 0 |
v2 |
|
|
t 2 |
•При гармонической зависимости от времени можно выделить пространственную часть функции (амплитуду колебаний):
(r , t) = (r ) exp( −i t)
(Фаза колебаний включена в комплексный амплитудный множитель.)
•Тогда, учитывая соотношение k= /v , волновое уравнение можно переписать для амплитудной функции:
(r ) + k 2 (r ) = 0
Это соотношение называется уравнением Гельмгольца.
Оно справедливо, в том числе, и в неоднородных средах с непостоянной
оптической плотностью, где |
|
k = k(r ) . |
v = v(r ) |
и |
• Можно приписать аналогичные свойства и волновой функции (r ,t) .
•vk.com/club152685050В стационарном| vk(постоянном.com/id446425943во времени) внешнем поле полная энергия рассматриваемой частицы (сумма потенциальной и кинетической составляющих) должна сохраняться. Тогда постоянной должна быть и частота, связанная с энергией соотношением E=ħ .
•Следовательно, в волновой функции можно выделить пространственную часть:
(r , t) = (r ) exp( −i t)
•Для пространственной части потребуем выполнения уравнения Гельмгольца:
(r ) + k 2 (r ) (r ) = 0
Влияние внешнего силового поля здесь учитывается через зависимость k(r ) .
•Волновое число можно выразить через импульс микрообъекта (частицы) p:
k 2 =p 2/ ħ2 .
•Осталось связать импульс с параметрами силового поля, которые можно
задать введением функции потенциальной энергии (в стационарной задаче не зависящей явно от времени) U (r ).
•Для этого Шредингер использовал нерелятивистское выражение для (сохраняющейся) полной энергии частицы с массой m:
E = p2 +U (r ) = const
2m
(Именно в этом случае получилось согласие выводов теории с экспериментом.) |
6 |
|
•vk.com/club152685050С учетом этого,| уравнениеvk.com/id446425943Гельмгольца преобразуется к виду:
(r ) + 2m2 [E −U (r )] (r ) = 0
•Это уравнение называют стационарным (амплитудным) уравнением Шредингера. Или уравнением Шредингера для состояния с определенной энергией.
•Оно было получено нестрогим образом – фактически постулировано. Но оказалось верным.
•Использовав это соотношение и взяв для потенциальной энергии выражение для кулоновского потенциала, Шредингер получил спектр разрешенных значений энергии водородоподобного атома, совпадающий с результатами, полученными в модели Бора.
•При этом не потребовалось постулировать правила квантования – разрешенным энергиям соответствовали энергии стоячих волн (резонансных колебаний) в потенциальной яме, профиль которой описывается кулоновским потенциалом.
•Поскольку результаты расчетов в модели Бора для атома водорода в точности соответствовали экспериментальным данным, это означало подтверждение и для стационарного (амплитудного) уравнения Шредингера.
