6.2. Интерпретации природы волн де Бройля. Волновой пакет как
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
(неудачная) модель частицы-волны. Волны вероятности
•Итак, было установлено, что объекты, которые принято представлять частицами (электроны, атомы, молекулы, нейтроны), обладают волновыми свойствами.
•Предлагались разные варианты «интерпретаций волновой механики» – физических способов совмещения корпускулярных и волновых свойств в одном объекте.
•Де Бройль предложил концепцию «двойного решения», предполагающее использование уравнений динамики, имеющих одновременно сингулярные и волновые решения. Волна-частица состоит из двух объектов разной физической природы. Движение частицы (сингулярности) направляется движением «волныпилота». Эта концепция не получила признания. (Хотя была развита затем Дэвидом Бомом.)
•Но наиболее естественным поначалу казалось предположение, что частицы представляют собой «пакеты» волн некоторого материального (обладающего энергией) поля. Волновой «пакет» -- такая комбинация гармонических волн, для которой амплитуда поля велика лишь в ограниченной области пространства.
•Плоская гармоническая волна де Бройля (r , t) = А exp[i (kr − t)]
с точно заданными значениями частоты и волнового вектора не соответствует обычным представлениям о частице, поскольку полностью делокализована.
vk• .com/club152685050Рассмотрим способы| vk.com/id446425943пространственной локализации для одномерной волны, распространяющейся вдоль оси x. Ограничимся лишь действительной частью функции.
•Гармоническая волна с частотой 0 и волновым числом k0 u1(x,t) =a cos( 0t – k0x)
полностью делокализована, т.к. ее амплитуда не зависит от x и t.
•Определим вторую волну с той же амплитудой и близкими значениями частоты и волнового числа:
u2(x,t) =a cos( t – kx) |
, |
где k – k0= k и – 0= – малые величины (<<k, ).
•Сложим две эти волны, получив суммарную волну:
u = u |
+ u |
|
= 2a cos 0 |
− t − |
k0 |
− k |
x |
|
cos 0 |
+ t − |
k0 |
+ k |
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•Заметим, что в аргументе второго косинуса присутствуют частота и волновой вектор, не сильно отличающиеся от и k :
|
t − |
k |
|
cos( t − kx) |
u 2a cos |
2 |
2 |
x |
|
|
|
|
(В принципе, для ( + 0)/2 и (k+k0)/2 можно ввести и специальные обозначения.) |
2 |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
vk.com/club152685050 |
| vk.com/id446425943 |
|
|
|
u 2a cos |
|
|
t − |
|
x |
|
cos( t − kx) |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• В этой формуле величину |
|
A(x, t) = 2a cos |
t − |
k x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
можно рассматривать как медленно меняющуюся амплитуду волны с (почти) исходными значениями частоты и волнового числа.
•На графике функции u(х, t) амплитуда А(x,t) задает форму гармонической огибающей:
•Таким образом, переход от одного к двум значениям частоты/волнового числа позволяет частично локализовать волну – в некоторых областях ее амплитуда близка к нулевой.
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
•Скорость перемещения максимумов и минимумов волны
u(x, t) = A(x, t) cos( t − kx)
«внутри огибающей» можно описать, потребовав постоянства аргумента косинуса (т.е. фазы). Например, его равенства нулю:
t – kx=0 x = ( /k) t
• Величину vф = / k называют «фазовой скоростью волны».
•Скорость перемещения максимумов огибающей («групповую скорость волны») можно
получить, потребовав постоянства аргумента косинуса в выражении:
|
A(x, t) = 2a cos t − |
k x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
• |
Нетрудно видеть, что групповая скорость выражается формулой vгр = / k |
• |
В пределе малости и k их отношение стремится к производной : |
vгр = d / dk |
•При условии ~k («при линейном законе дисперсии») фазовая скорость совпадает с
• Для локализации волны в ограниченной области пространства/времени
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
(формирования волнового пакета) нужно просуммировать бесконечное число волн.
•Пусть параметр k (и соответствующая частота ) непрерывно распределены в интервале ограниченной ширины [k0– k; k0+ k]. Результат сложения таких
элементарных волн (одинаковой амплитуды a) получим интегрированием:
k0 |
+ k |
u(x, t) = |
a cos( t − kx)dk |
k0 −k
•Для вычисления интеграла требуется конкретизировать «закон дисперсии»(k). Считаем интервал k малым. Тогда произвольную дисперсионную зависимость (k) можно представить в виде ряда Тейлора:
(k) = 0 + 0 (k − k0 ) + 0 (k − k0 )2 +... |
|
2 |
|
Здесь через 0 , 0 и 0 обозначены значения функции (k) и ее |
производных при k=k0 (это некоторые числа). |
|
• Ограничимся первым членом разложения: |
(k) 0 + 0 (k − k0 ) . |
•При этом запомним, что погрешность этой формулы будет определяться в основном
старшим отброшенным членом |
0 |
(k − k0 )2 |
~ 0 k 2 |
|
|
|
|
2 |
|
5 |
• После подстановки интеграл приобретает вид
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
k0 |
+ k |
|
|
u(x, t) a |
|
cos( 0t + 0 kt − 0 k0t − kx)dk |
|
|
|
k0 −k |
|
|
или |
|
|
|
|
k0 |
+ k |
|
|
u(x, t) a |
|
cos[( 0t − k0 x) + (k |
− k0 ) ( 0t |
− x)]dk |
|
k0 −k
•(Аргумент косинуса – линейная функция от (k-k0). Косинус суммы преобразуется по тригонометрической формуле cos( + )=cos cos –
sin sin , переход от dk к d(k-k0), интеграл от sin по симметричному интервалу =0). Опуская детали вычислений:
результат может быть представлен в виде произведения «волнового» и медленно (при малом k) меняющуюся амплитудного
сомножителей.
u(x,t) A(x,t) cos( 0 t – k0 x)
• Амплитуда:
где = k ( 0 t – x)
«Мгновенный снимок» волнового |
|
пакета (в безразмерных |
|
координатах) при t=0 → |
6 |
|
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943 |
u(x,t) A(x,t) cos( 0 t |
– k0 x) |
• Амплитуда: |
|
|
|
|
A(x, t) = |
2a k |
sin , |
|
|
|
где = k ( 0 t – x) |
|
|
|
«Мгновенный снимок» волнового |
|
|
пакета (в безразмерных |
|
|
координатах) при t=0 → |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• Свойства амплитудной функции: |
sin |
→ 1 |
при → 0 . |
|
|
|
|
sin |
= 0 |
при |
= |
– и пакет пространственно ограничен размером x: |
|
|
|
|
|
|
|
таким, что x k=2 |
(запомнить для дальнейшего !). |
•В данном приближении, волновой пакет движется в пространстве, не меняя формы своей огибающей A(x,t).
•Скорость его движения (групповую скорость ) можно определить из выражения
для . |
Она равна v гр = 0 d / dk (при k=k0). |
vk.com/club152685050u(x,t) A(x,t) cos(| vk.com/id446425943t – k x)
0 0
• Амплитуда: |
|
|
A(x, t) = 2a k |
sin , |
|
|
где = k ( 0 t – x)
«Мгновенный снимок» волнового пакета (в безразмерных
координатах) при t=0 →
•Фазовая скорость волн (скорость перемещения максимумов и минимумов внутри огибающей волнового пакета) определяется из верхнего уравнения и
равна v ф = 0 /k0 -- как и у отдельной гармонической волны со «средним» волновым числом k0.
•Приведенные выше равенства являются точными, если закон дисперсии
|
линеен. При условии =c k имеем: |
v ф = 0 / k0 = / k = c = d / dk = v гр . |
|
• |
При этом волновой пакет перемещается как целое со скоростью c . |
|
• |
И, на первый взгляд, он представляется удачной моделью частицы-волны. |
8 |
|
|
|
•vk.com/club152685050Закон дисперсии| vkлинеен.com/id446425943, например, для фотона в вакууме. Для него
k = p/ħ = (ħ /c) / ħ = / c – как и для классической электромагнитной волны.
• Однако для частиц, обладающих массой покоя, закон дисперсии имеет иной вид.
• Дисперсионную зависимость для них можно получить, используя уравнения де
Бройля и выражение, связывающее энергию частицы с ее импульсом. |
|
= ħ |
|
|
|
|
Уравнения де Бройля: |
и |
p = k |
. |
Простейшее нерелятивистское выражение для полной энергии свободной частицы с массой покоя m0:
= m0c2+ p2/2m0 |
|
соответствует закону дисперсии: (k) = |
m0c2 |
+ |
|
k 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m0 |
Эта зависимость нелинейна. |
|
|
|
|
|
|
|
• Точное релятивистское выражение: |
2 = m02c4 + c2p2 |
приводит к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k) = |
m02c4 |
+ c |
2 |
k |
2 |
|
– при m0 0 зависимость также нелинейна. |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• Следствие нелинейности: фазовая и групповая скорости непостоянны (зависят от k и ) и не равны друг другу.
•vk.com/club152685050Расчет показывает| vk,.com/id446425943что групповая скорость волны де Бройля d /dk равна скорости частицы p/m (!!).
•С одной стороны, такое совпадение кажется примечательным.
•С другой – для стабильности волнового пакета требуется, чтобы составляющие его
элементарные волны с разными k =p/ ħ распространялись с одинаковой скоростью. В противном случае, пакет со временем «расплывается».
•Математически, расплывание волнового пакета связано с отброшенным при приближенном рассмотрении нелинейным членом дисперсионной зависимости
20 (k − k0 )2 ~ 0 k 2
•Его размерность – циклическая частота. Домножив на время , получим величину неучтенного ранее отклонения фазы парциальной волны – составляющей волнового пакета с наибольшим отклонением от «среднего» волнового числа k0 (оно
равняется k). Будем считать существенным отклонение фазы на (вместо
взаимного подавления составляющих волнового пакета со «средним» и «крайним» значениями волнового числа, они друг друга усиливают, или наоборот). Получаем условие:
0 k 2 =
