• vk.com/club152685050Условия квантования| vk.com/id446425943:
|
p d = 2 n и |
|
|
pr dr = 2 nr |
, где целые числа n и nr |
|
|
|
|
|
|
называются азимутальным и радиальным квантовыми числами. |
• Для азимутального движения: |
|
p L = const ( ) |
, поэтому |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
p d = p |
|
d =2 |
p |
|
и p = n ħ |
(**) |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
•Вычисления для радиального движения значительно сложнее. Зависимость pr(r) можно получить из уравнения (*), подставив туда найденное выражение (**) для p . Затем полученную функцию нужно проинтегрировать в интервале от минимального до максимального значений r и обратно. Эти значения находятся как корни
уравнения (*) при условии pr=0 (ищем экстремумы радиального движения). Результат интегрирования нужно приравнять 2 ħ nr . И из полученного уравнения выразить, наконец, энергию.
•Результат этих вычислений:
Ze2 |
|
|
m |
|
= (n + n |
) |
|
|
|
|
4 0 |
|
|
− 2m |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
7
• Или для разрешенных значений энергии (для квантовых чисел n |
|
и n |
r |
): |
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n= − |
mZ 2e4 |
|
|
1 |
|
= − |
mZ 2e4 |
|
1 |
= – (Z 2 R ch) / n2 . |
(4 |
|
)2 2 2 |
(n |
+ n )2 |
(4 |
|
)2 2 2 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь n – сумма орбитального и азимутального квантовых чисел, называемая |
главным квантовым числом : |
|
n = n + nr |
|
|
|
|
|
|
|
•Разрешенные значения энергии в рассмотренном приближении зависят только от главного квантового числа. Вид этой зависимости в точности совпадает с формулой Бора для круговых орбит (!).
•При заданном n энергия не зависит от азимутального квантового числа, которое
принято обозначать «k»: |
k n |
•Круговые орбиты – частный случай эллиптических. Для них радиус постоянен,
поэтому pr=0 nr = 0 k = n .
•Орбиты с (k<n) – эллиптические. Меньшим k соответствует больший эксцентриситет (эллиптичность) орбиты. Случай k = 0 не реализуется. Ему
соответствовал бы p =L =0, и траектория электрона проходила бы через ядро. Диапазон изменения k : k = 1...n
Общая структура набора разрешенных состояний:
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
n= – (Z 2 R ch) / n2
•Состояние с наименьшей энергией (основное) реализуется при n=1. Ему может соответствовать единственное значение k=1=n. Круговая орбита.
•Главному квантовому числу n=2 могут соответствовать значения азимутального квантового числа k=2 (круговая орбита) и k=1 (эллиптическая орбита).
•Такие состояния «вырождены по энергии» -- так говорят, когда их энергия одинакова.
•Для n=3 возможны три значения азимутального квантового числа: k=3 (круговая орбита), k=2 (эллипс) и k=1 (эллипс с бóльшим эксцентриситетом).
•Для n=4 возможны уже 4 разных орбиты.
•Общая закономерность: главному квантовому числу n соответствуют n различных разрешенных состояний вырожденных по энергии.
• vkВырождение.com/club152685050состояний| vk.com/id446425943с разными значениями
азимутального квантового числа k при равных n не обусловлено квантованием. Оно определяется кулоновским характером взаимодействия (сила ~1/r2 ). При отклонении от этого закона «вырождение снимается».
• Снимается оно и при учете релятивистской зависимости массы электрона от скорости. Эллиптические траектории при этом «прецессируют» вокруг фокуса ( см. рисунок → )
•Зоммерфельд рассчитал изменение энергий состояний при учете этого эффекта. На рисунке им соответствуют сплошные линии (пунктир – без учета релятивизма; разница преувеличена).
•Энергии состояний с разными значениями k различны. Это объясняет существование дублетов, триплетов и т.п. в оптических спектрах.
•Пример: переходы из двух разных состояний с n=2
в единственное состояние с n=1 должны давать |
|
две спектральные линии с близкими частотами. |
10 |
|
•vk.com/club152685050Число спектральных| vk.com/id446425943линий «тонкой структуры» в модели Зоммерфельда оказалось даже бóльшим, чем наблюдается в эксперименте. В частности, первая линия серии Бальмера (переходы с третьего на второй уровень) должна была бы расщепиться на 6 составляющих.
•Анализ показал, что наблюдаются только линии, соответствующие переходам с изменением азимутального квантового числа на единицу:
k = 1 – «правило отбора» для азимутального квантового числа k .
Еще одно дополнение теории – «пространственное квантование».
•В окружающем атом пространстве может существовать выделенное направление. Например, направление приложенного магнитного поля. (Этот случай рассматривают чаще всего.)
•Тогда можно рассмотреть вопрос об ориентации плоскости орбиты электрона (если она останется плоской) по отношению к этому направлению.
•В любом случае, рассматриваемая задача становится трехмерной. Последовательный подход должен состоять в наложении уже трех условий квантования Бора-Зоммерфельда
pk dqk = nk h
для трех различных наборов обобщенных координат и импульсов. |
11 |
|
Результат такого рассмотрения (без вывода):
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
•Появление дополнительного квантового числа, описывающего угловое положение орбиты электроны по отношению к выбранному направлению.
•Для проекции момента импульса электрона на выделенное направления оказываются разрешены лишь дискретные значения, кратные ħ .
•Дополнительное «магнитное квантовое число» m может принимать (2k+1) целых значений от –k до +k . (k – азимутальное квантовое число )
•В частности, для основного состояния атома водорода (n=1 , k=1) разрешены значения m= –1, 0, +1. Им соответствуют ориентация момента импульса электрона параллельно, перпендикулярно и антипараллельно выделенному направлению.
•В пределе бесконечно слабого поля состояния с разными значениями m и k вырождены – энергия состояния зависит только от главного квантового числа n .
•Поскольку движущемуся по орбите электрону присущ собственный магнитный момент, в ненулевом внешнем магнитном поле вырождение по магнитному квантовому числу снимается.
•Энергии состояний с разными m (при равных остальных квантовых числах) различаются тем сильнее, чем больше приложенное поле.
•Это объясняет эффект Зеемана – расщепление линий оптических спектров в магнитном поле (открыт Питером Зееманом в 1896 г.).
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
Итого:
•Теория Бора стала крупным шагом в развитии теории атома.
•Она показала неприменимость классических представлений к внутриатомным явлением и первенствующее значение квантовых законов в микроскопических системах.
•Был указан принцип, следуя которому огромный накопленный массив спектроскопических данных мог быть приведен к единой системе.
•Теория Бора стимулировала проведение большого числа новых экспериментальных работ (в том числе, рассматриваемых далее).
•vk.com/club152685050В то же время, |теорияvk.com/id446425943обладала и существенными недостатками, суть которых была понятна изначально.
•Главным из них была внутренняя противоречивость. Она не была ни последовательно классической, ни последовательно квантовой теорией.
•В результате, наряду с большими достижениями, выявлялись и принципиальные ограничения ее использования.
•В частности, даже для водородоподобных атомов теория позволяла вычислить лишь частоты спектральных линий, но не их интенсивности.
•Попытка построения модели атома гелия – следующего по сложности после атома водорода, состоящего из ядра и двух электронов – были полностью неудачными.
•Это же относится и к более сложным, многоэлектронным системам.
•К данному моменту понятно, что теория Бора стала могла лишь переходным этапом на пути к последовательной теории атома.
•Отчасти сохраняется ее «эвристическое» значение – зачастую она может давать
подсказку для качественной интерпретации и классификации тех или иных явлений.
• В отличие о Ленарда, Франк и Герц для получения потока электронов использовали
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
термоэмиссионный катод – накаливаемую проволоку.
•Явление термоэлектронной эмиссии состоит в следующем.
При обсуждении фотоэффекта (фотоэмиссии) уже говорилось, что для выхода из вещества среднему электрону требуется получить дополнительную энергию, величина которой называется «работой выхода». Но из-за экспоненциального характера
статистических распределений при любой ненулевой температуре среди электронов
есть такие, энергия которых превышает среднее значение на достаточную величину. Эти электроны могут покидать вещество. При повышенной температуре число таких электронов резко (экспоненциально) увеличивается.
•При выходе в вакуум термоэлектроны могут иметь некоторую кинетическую энергию.
Чтобы вернуть их обратно, к аноду вакуумного диода нужно приложить небольшой
отрицательный потенциал ~kT.
•При нулевом потенциале ток электронов в ограничен полем их собственного пространственного заряда.
•Приложение положительного напряжения «помогает»
электронам преодолеть это поле. С ростом напряжения ток поначалу нарастает.
•Далее ток «насыщается» – когда создаваемое анодом
поле достаточно для вывода к аноду всех электронов, |
ВАХ вакуумного диода |
|
способных покинуть катод. |
|
с термокатодом |
|
|
2 |
|
|
