4. Прогнозирование методом Лагранжа

Искомый полином в курсовой работе определяется для n = 4 (n — количество узлов интерполяции или лет, за которые имеются отчётные значения показателей) по формуле:

F(x) = L₁(x) f(x₁) + L₂(x) f(x₂) + L₃(x) f(x₃) + L₄(x) f(x₄),

где L₁(x) = = – 0,17 ∙ x³ + 1,5 ∙ x² – 4,33 ∙ x + 4;

L₂(x) = = 0,5 ∙ x³ – 4 ∙ x² + 9,5 ∙ x – 6;

L₃(x) = = – 0,5 ∙ x³ + 3,5 ∙ x² – 7 ∙ x + 4;

L₄(x) = = 0,17 ∙ x³ – x² + 1,83 ∙ x – 1.

Коэффициенты полинома определяются по формулам:

A₀ = 4 ∙ f(1) – 6 ∙ f(2) + 4 ∙ f(3) – f(4);

A₁ = – 4,33 ∙ f(1) + 9,5 ∙ f(2) – 7 ∙ f(3) + 1,83 ∙ f(4);

A₂ = 1,5 ∙ f(1) – 4 ∙ f(2) + 3,5 ∙ f(3) – f(4);

A₃ = – 0,17 ∙ f(1) + 0,5 ∙ f(2) – 0,5 ∙ f(3) + 0,17 ∙ f(4).

Формула для расчёта прогнозного значения показателя методом Лагранжа:

F(x) = A₀ + A₁ ∙ x + A₂ ∙ x² + A₃ ∙ x³.

Значение показателя за 5 год определяется по формуле:

F(5) = A₀ + A₁ ∙ 5 + A₂ ∙ 25 + A₃ ∙ 125.

Результат расчёта прогнозных значений показателей представлен в табл. 2.

Таблица 2

Расчёт прогнозных значений показателей на 5-ый год методом Лагранжа

Показатель	Коэффициенты полинома при степенях				F(5)		Абс. прирост прогноза к отчёту за 4 год, ΔM		Темпы роста прогноза, %,
	A0	А1	A2	A3
НА
Ф
М
ЗП
П

Расчёт для НА:

A₀ =

A₁ =

A₂ =

A₃ =

F(x) =

F(5) = A₀ + A₁ ∙ 5 + A₂ ∙ 25 + A₃ ∙ 125 =

ΔM = F(5) – f(4) =

∙ 100 % =

4. Прогнозирование показателей полиномом первой степени с использованием метода “наименьших квадратов”

Для определения искомого полинома F(x) необходимо решить систему двух уравнений с двумя неизвестными, где в качестве неизвестных выступают искомые коэффициенты полинома первой степени:

( x₁ + x₂ + … + x_n)A₁ + n · A₀ = f(x₁) + f(x₂) + … + f(x_n)

(x₁² + x₂² + … + x_n²)A₁ + (x₁ + x₂ + … + x_n)A₀ = x₁f(x₁) + x₂ f(x₂) + … + x_n f(x_n)

В данной курсовой работе n = 4, а x_i = i , где i — год, за который имеется отчётное значение показателя. Поэтому система будет выглядеть следующим образом:

( 1 + 2 + 3 + 4) A₁ + 4 A₀ = f(1) + f(2) + f(3) + f(4)

(1² + 2² + 3² + 4²) A₁ + (1 + 2 + 3 + 4) A₀ = 1f(1) + 2 f(2) + 3f(3) + 4f(4)

После преобразования получаем систему уравнений:

1 0 A₁ + 4 A₀ = f(1) + f(2) + f(3) + f(4)

30 A₁ + 10 A₀ = f(1) + 2 f(2) + 3f(3) + 4f(4)

Решив эту систему уравнений, получаем:

A₀ = f(1) + 0,5 · f(2) – 0,5 · f(4);

A₁ = – 0,3 · f(1) – 0,1 · f(2) + 0,1 · f(3) + 0,3· f(4).

F(x) = A₀ + A₁ · x.

F(5) = A₀ + A₁ · 5.

Используя полученные формулы, рассчитываем показатели, приведённые в табл. 3.

Таблица 3