7. Формула полной вероятности

На практике часто возникают ситуации, когда требуется определить вероятность события , которое может произойти с одним из совместных событий , , …, , образующих полную группу событий (их называют гипотезами). Ответ дает так называемая формула полной вероятности: .

Вероятности гипотез называются доопытными (априорными) вероятностями, - условными вероятностями события , - совместными вероятностями события и гипотезы.

Пример 10. Пусть известно, что диаметр больше 15 см у 30% берез березы, 40% елей и 70% сосен. Случайным образом выбирается дерево. Найдем вероятность того, что диаметр наугад выбранного дерева больше 15 см.

Событие - «диаметр случайно выбранного дерева больше 15 см» может наступить вместе только либо с событием - «выбранное дерево – береза», либо с событием - «выбранное дерево – ель», либо с событием - «выбранное дерево – сосна».

События - выбор какого-то дерева из всех деревьев – попарно несовместные. Вероятности 0,6; 0,1; 0,3. Сумма вероятностей . События образуют полную группу несовместных событий.

По формуле полной вероятности получим:

Контрольные вопросы

1. _{Сформулируйте словами утверждение, чему равна вероятность суммы: 1) несовместных событий; 2) совместных событий. Запишите соответствующие формулы.}

2. _{Событие - выпадение герба при первом подбрасывании монеты, событие - выпадение герба при втором подбрасывании монеты. Являются ли эти события независимыми? Совместными?}

3. _{Дайте определение условной вероятности события относительно события .}

4. _{Чему равна вероятность произведения: 1) двух независимых событий; 2) двух зависимых событий?}

5. _{Заполните пропущенные места в формуле умножения вероятностей произведения трех событий: .}

6. _{Вероятность события «наступило хотя бы одно из независимых событий» равна разности между единицей и вероятностью события «…». Заполните пропущенные слова.}

7. Дайте определение полной группы событий.

8. Произведены два выстрела по мишени. Покажите, что события - «Ни одного промаха», - «Один промах», - «Два промаха» образуют полную группу попарно несовместных событий.

9. Запишите формулу полной вероятности. При каких условиях она применима?

10. Каким условием должны удовлетворять вероятности гипотез ?