Самостійна робота

В-1 В-2

1. Скільки перестановок можна утворити із букв слова

«формула» ? «інтеграл» ?

2. Обчисліть:

3. С кількома способами можна розділити дві

однакові різні

путівки між 20 робітниками?

4. Із 20 делегатів конференції треба вибрати президіум із 3 чоловік і делегацію із 4 чоловік. Скільки різних способів вибору існує , якщо

члени президіуму можуть входити до складу делегації ?

члени президіуму не повинні входити до складу делегації ?

5. При натуральних n виконується нерівність:

? <72?

Відповідь:

1. Р ₇=7!=1∙2∙3∙4∙5∙6∙7=5040 1. Р₈=8!=5040∙8=40320

2. 2.

3. 3.

4. 4.

5. 5.

n=1; 2; 3; 4 n=1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

Деякі властивості числа комбінацій (сполучень) без повторень:

1) , зокрема

2)

3) .

4)

Біном Ньютона (біном – двочлен, поліном - многочлен)

Трикутник Паскаля

формула бінома Ньютона

Властивості бінома Ньютона:

1. У розкладі (n+1) доданків.

2. Формула (k+1) члена розкладу :

3. У кожному доданку розкладу сума степенів a і b дорівнює n.

4. Коефіцієнти членів розкладу, рівновіддалених від кінців, однакові ; ; , ….

5. (сума біноміальних коефіцієнтів дорівнює 2ⁿ)

6. - формула для обчислення біноміальних коефіцієнтів (трикутник Паскаля).

n=0

n=1

n=2

n=3

n=4

n=5

n=6

n=7

n=0

n=1

n=2

n=3

n=4

n=5

n=6

n=7

Приклади.

1. Обчисліть: а) ; б) .

Розв’язання:

а)

б)

Відповідь: а)1000; б)499500.

2. Знайти: а) 6-й член розкладу (х - у)⁸;

б) 7-й член розкладу (a+b)¹⁰.

Розв’язання:

а) Т₆=Т₅₊₁; k=5; n=8; а=x; b=(- y), маємо

б) Т₇ ; k=6; n=10;

Відповідь: а) -42х³у⁵; б)210a⁴b⁶.

3. Розкладіть вираз за формулою бінома Ньютона і спростіть його:

а) (1+ )⁵; б) (2- )⁴

Розв’язання:

а) (1+ )⁵=

.

б) (2- )⁴=

Відповідь: а)66+34 ; б)68-48 .

4. Знайдіть розклад степеня бінома:

а) (x+(-2y))⁷ ; б) (x+2y)⁸.

Розв’язання:

а) (x+(-2y))⁷=1∙x⁷-7x⁶∙2y+21x⁵∙4y² – 35x⁴∙8y³+35x³∙16y⁴ – 21x²∙32y₅+7x∙64y⁶ –

- 1128y⁷=x⁷ – 14x⁶y+84x⁵y² – 280x⁴y³+560x³y⁴ – 672x²y⁵+448xy⁶ – 128y⁷.

б) (x+2y)⁸=

x⁸+8x⁷∙28x⁶∙4y²+56x⁵∙8y³+70x⁴16y⁴+56x³∙32y⁵+28x²∙64y⁶+8x∙128y⁷+256y⁸=x⁸+16x⁷y+112x⁶y²+448x⁵y³+1120x⁴y⁴+1792x³y⁵+1792x²y⁴+1024xy⁷+256y⁸.

5. Знайдіть член розкладу бінома, який не залежить від х:

а) ; б)

Розв’язання:

а) ; ; n=27, знайдемо k+1 у формулі , що відповідає умові вправи.

Щоб член розкладу бінома не залежав від х, треба, щоб , так як х⁰=1

б) ; ; n=13, аналогічно ,

Відповідь: а)13; б)7.