Розв’язування прикладних задач. Прийоми і методи розв’язування комбінаторних задач.

Основні властивості сполук:

1. Перестановки (такі множини) - відрізняються одна від одної порядком розташування.

2. Розміщення (такі множини) – відрізняються або вибором елементів, або порядком розташування.

3. Комбінації (такі множини) – відрізняються тільки вибором елементів (порядок не враховується).

Вибір формули:

Чи враховується порядок

р

Чи усі елементи входять до сполуки?

Перестановки

без повторень з повтореннями

Р_n=n!

Розміщення

без повторень з повтореннями

Комбінації (сполучення)

без повторень з повтореннями

ні

так

так

ні

ні

ні

озміщення елементів?

Приклади розв’язування задач.

Вибрати відповідну формулу для розв’язування задачі, визначивши вид сполуки.

1. Десять друзів при зустрічі потиснули один одному руки. Скільки було зроблено руко потискань?

2. Десять друзів обмінялися фотокартками так, що кожен обмінявся з кожним. Скільки було роздано фотокарток?

3. У класі, де 30 учнів, вибирають команду з 5 учнів для участі у турнірі. Скільки існує варіантів вибору?

4. У класі, де 30 учнів, вибирають команду з 5 учнів; один – капітан команди, по учню – для участі у різних конкурсах. Скільки існує варіантів вибору?

5. Біля столу стоять 4 стільці. Скільки існує способів розміщення за столом чотирьох осіб?

6. Чотири дівчинки, взявшись за руки під час танцю, утворили коло. Скільки існує для них варіантів стати в коло?

7. Чотири різні за кольором лампочки з’єднали колом. Скільки є варіантів розміщення лампочок?

Відповідь:

1.

2.

3.

4.

5. Р₄=4!=1∙2∙3∙4=24

6. Кількість способів утворення хороводу у 4 рази менша від Р₄, бо циклічні перестановки не змінюють коло;

7. Циклічні перестановки не змінюють коло, воно не зміниться, якщо його перевернути; ( ) : 2 =3.

Повторення правил суми і добутку (два основних закони комбінаторики).

Задача. У класі 16 хлопців і 12 дівчат.

1. Скількома способами можна вибрати одного учня?

2. Скількома способами можна вибрати двох учнів?

3. Скількома способами можна вибрати хлопця і дівчину, якщо вже вибрано одного учня?

Розв’язання:

Хлопця можна вибрати способами;

дівчину - способами, тому

1) + =12+16=28 (способами) можна вибрати або дівчину, або хлопця → правило суми.

2) ∙ =12∙16=192 (способи) можна вибрати і хлопця, і дівчину → правило добутку.

3) І випадок: якщо вибрали хлопця, то залишилось 15 хлопців, маємо (способів).

4) ІІ випадок: якщо вибрали дівчину, то залишилось 11 дівчат, маємо (способів)

За правилом суми: 180+176=356 (способів).

Розв’язування задач.

1. У змаганні беруть участь 20 спортсменів. Скількома способами можна скласти трійку призерів?

Розв’язання:

Маємо упорядковані множини, тому

Відповідь: 6840 способів.

2. Скількома способами можна вибрати 3 чергових із групи в 20 осіб?

Розв’язання:

Маємо неупорядковані множини, тому .

Відповідь: 1140 способів.

3. Прапор складається з 5 вертикальних смуг різного кольору. Скільки різноманітних прапорів можна отримати, маючи 7 кольорів?

Розв’язання:

Маємо упорядковані множини, тому .

Відповідь: 2520 прапорів.

4. Прапор складається з 7 вертикальних смуг різного кольору. Скільки різноманітних прапорів можна отримати, маючи 7 кольорів?

Розв’язання:

Маємо упорядковані множини, тому Р₇=7!=5040.

Відповідь: 5040 прапорів.

5. Із 10 осіб обрали комісію, що складається з голови, секретаря та ще трьох осіб. Скількома способами це можна зробити?

Розв’язання:

Маємо неупорядковані множини, тому голову комісії можна обрати способами, секретаря - , а трьох членів - . За правилом добутку : .

Відповідь: 5040 способів.

6. Із цифр 1, 2, 3 складіть усі трицифрові числа:

1. якщо цифри в числі не повторюються;

2. якщо цифри в числі можуть повторюватись.

Скільки таких чисел?

Розв’язання:

Маємо упорядковані множини, тому

1. Р₃=3!=1∙2∙3=6.

2. Р₃ – кількість чисел, де цифри різні;

3. - кількість чисел, де повторяться дві цифри;

- кількість чисел, де повторюються три цифри;

маємо Р₃ + + =6+3²+3¹=18.

Відповідь: 1) 6 чисел; 2) 18 чисел.

7. Скільки можна скласти трицифрових чисел з десяти цифр 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9, якщо цифри в числі не повторюються?

Розв’язання:

Маємо упорядковані множини, тому з 10 цифр можна скласти , але не існує таких, у яких на першому місці стоїть 0, їх буде .

- = .

Відповідь: 648 чисел.

8. На книжковій полиці стоять 10 книжок, причому 8 із них різні, а дві книжки є двотомниками. Скільки існує способів для перестановки цих книжок так, щоб книжки, які складають двотомник, були поряд?

Розв’язання:

Маємо упорядковані множини, так як книжки, які складають двотомник, мають бути поряд, то можна переставити 9 елементів (Р₉=9!), але і книги самого двотомника можна переставляти (Р₂=2!), за правилом добутку: Р₉ ∙Р₂=2∙9!=725760.

Відповідь: 725760 способів.

9. На книжковій полиці стоять 8 книжок, причому 5 із них – з математики, 3 – з фізики. Скількома способами можна розставити ці книжки, щоб книжки з однієї галузі знань стояли поряд?

Розв’язання:

Маємо упорядковані множини, група книжок з математики та група книжок з фізики дають множину з двох елементів (Р₂=2!), але перший елемент є множиною з 5 елементів (Р₅=5!), а другий – множиною з 3 елементів (Р₃=3!), за правилом добутку:

Р₂ ∙Р₅ ∙Р₃=2! ∙5! ∙3!=2∙120∙6=1440

Відповідь: 1440 способів.

10. Скількома способами можна вибрати 3 олівці й 4 ручки з коробки, у якій 7 олівців і 8 ручок ?

Розв’язання:

Маємо неупорядковані множини, тому олівці можна вибрати , а ручки - способами. За правилом добутку: ∙ = .

Відповідь: 2450 способів.

11. Скількома способами 4 гравці, граючи в доміно 28 кісточками, можуть вибрати 7 кісточок?

Розв’язання:

Маємо неупорядковані множини, один гравець може вибрати 7 кісточок з 28 способами, другий - способами, третій - , четвертий - =1 способами, за правилом добутку: ∙ ∙ ∙ = .

Відповідь: .

12. Із колоди у 36 карт вибрано 7 карт. Скільки способів є серед цих 7 карт виявити двох «дам»?

Розв’язання:

Маємо неупорядковані множини, дві «дами» і п’ять, які не є «дамами» дають вибраних 7 карт, всього «дам» - чотири, тому знайти двох «дам» можна способами, а знайти п’ять не «дам» можна способами, за правилом добутку:

∙ = .

Відповідь: 1208256 способів.

13. У вазі стоїть 10 червоних і 5 рожевих гвоздик. Скількома способами модна вибрати три квітки так, щоб серед них були як червоні, так і рожеві?

Розв’язання:

Маємо неупорядковані множини, можна вибрати 2 червоні і 1 рожеву або 1 червону і 2 рожеві гвоздики: ∙ + ∙ =

Відповідь: 325 способів.

14. У залі 12 білих і рожевих гвоздик. Відомо, що букет із двох білих і однієї рожевої гвоздики можна скласти 105 способами. Скільки у вазі гвоздик кожного кольору?

Розв’язання:

Маємо неупорядковані множини. Нехай у вазі х білих гвоздик, тоді рожевих – (12 - х). Зрозуміло, що 2≤ х ≤11. Букет можна скласти способами. Тоді =105;

(х-1) х(12- х )=210;

(х²- х)(12- х) – 210=0;

12х² - 12х – х³ + х² – 210=0;

х³ - 13х² + 12 х + 210=0;

х(х² - 6х - 30) – 7(х² – 6х - 30)=0;

(х² - 6х - 30)( х - 7)=0;

; х=7; маємо х=7, 12-7=5.

Відповідь: 7 білих і 5 рожевих гвоздик.