[ Будылин ] Математика 3 семестр

Доказательство. Просуммируем неравенства

|Φ(Ai)| 6 γV (Ai) .

В силу свойств аддитивности

X X X

|Φ(A)| = Φ(Ai) 6 |Φ(Ai)| 6 γ V (Ai) = γV (A) .

i=1 i=1 i=1

Лемма 4.8. Если плотность аддитивной функции существует и равна тождественно нулю, то сама аддитивная функция также равна нулю тождественно.

Доказательство. Предположим, для определенности, что Φ(A) > 0. Положим γ = Φ(A)

V (A)

и A1 = A. Разобьем множество A на подмножества с непересекающимися внутренно-

m

[

стями: A = Bi. В силу предыдущей леммы найдется подмножество Bj такое, что

i=1

Φ(Bj) > γ. Положим A2 = Bj и проведем разбиение множества A2, повторяя процедуру

V (Bj)

отбора ячейки, на которой среднее значение аддитивной функции не меньше γ. Повторяя эту процедуру неограниченное число раз получим последовательность множеств

A1 A2 . . .

Процесс дробления всегда можно подчинить условию: diam An → 0. Заметим, что по

Кратные интегралы Интегралы на многообразиях Приложения Предметный указатель Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 51 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

Pk Ak, заметить, что Pk — последовательность Коши и, как следствие, существует предел P = lim Pk. Предельная точка P принадлежит каждому из множеств Ak ввиду их замкнутости, а следовательно — принадлежит и их пересечению.

Таким образом, построена последовательность множеств Ak, стягивающаяся к точке

P , и тогда

ϕ(P ) = lim Φ(Ak) > γ > 0 , V (Ak)

противоречие.

Теорема 4.9. Если аддитивная функция Φ имеет непрерывную плотность ϕ, то

Z

Φ(A) = ϕ .

A

Доказательство. Положим

Z

Ψ(A) = ϕ .

A

Тогда аддитивная функция Φ − Ψ имеет плотность, равную ϕ − ϕ = 0. Откуда по предыдущей лемме Φ − Ψ = 0.

Замечание 4.10. В дальнейшем нам понадобится некоторая модификация полученного результата. Заметим, что в определении плотности функции мы могли бы ограничиться последовательностями стягивающихся множеств определенного типа, например, последовательностями стягивающихся кубов. Разумеется, это привело бы нас к расширенному понятию плотности. При таком толковании плотности доказательство леммы 4.8 сохранит свою силу только в отношении выбранного типа стягивающихся множеств (т.е. кубов) и, как следствие, теорема 4.9 также будет иметь силу только в отношении данного типа множеств (т.е. если A — куб).

Кратные интегралы

Интегралы на многообразиях

Приложения

Предметный указатель Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 52 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

4.2.Коэффициент искажения объема

Рассмотрим непрерывное взаимно однозначное отображение θ : Rn → Rn. Заметим, что при этом

Рассмотрим функцию W (A) = V (θ(A)). Эта функция является аддитивной:

W (A1 A2) = V (θ(A1 A2)) = V (θ(A1) θ(A2)) = V (θ(A1))+V (θ(A2)) = W (A1)+W (A2) .

Эта же выкладка доказывает усиленную аддитивность функции W ввиду жордановости отображения θ и усиленной аддитивности объема V .

Пусть функция W имеет плотность

w(P ) = lim W (A) = lim V (θ(A)) .

A→P V (A) A→P V (A)

Эта плотность называется коэффициентом искажения объема при отображении θ.

Теорема 4.11. Пусть f — непрерывная функция, определенная на множестве значений функции θ. Пусть коэффициент искажения объема при отображении θ определен и является непрерывной функцией w = w(P ). Тогда

ZZ

f = f ◦ θ · w ,

θ(A) A

где A — произвольное жорданово множество.

Кратные интегралы

Интегралы на многообразиях Приложения Предметный указатель Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 53 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

Доказательство. Определим функцию

Z

Φ(A) = f .

θ(A)

Пусть A стягивается к точке P , тогда θ(A) стягивается к точке θ(P ) в силу непрерывности θ и, следовательно,

В силу непрерывности найденной плотности ϕ = f ◦ θ · w функции Φ, по теореме 4.9 заключаем, что

Z

Φ(A) = f ◦ θ · w .

A

Замечание 4.12. Если коэффициент искажения объема определен с использованием специального типа стягивающихся последовательностей множеств, теорема 4.11 сохранит свой смысл именно для таких множеств A, см. замечание 4.10.

Кратные интегралы

Интегралы на многообразиях

Приложения

Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 54 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

5.Замена переменных в интеграле

5.1. Предварительное замечание

Напомним, что если θ — непрерывно дифференцируемая функция [a, b] → R и f — интегрируемая функция на множестве значений функции ‘θ, то

θ(b) b

ZZ

f = f ◦ θ · θ0 .

θ(a) a

В таком виде формула замены переменной в интеграле не обобщается на случай кратных интегралов. Заметим, однако, что если отображение θ — взаимно однозначно, то предыдущей формуле можно придать вид

ZZ

f = f ◦ θ · |θ0|

θ([a,b]) [a,b]

(для доказательства достаточно заметить, что θ — монотонна, и рассмотреть случаи θ0 > 0 и θ0 6 0).

5.2.Коэффициент искажения объема в случае линейных отображений

5.2.1. Экскурс в линейную алгебру

Пусть θ : Rn → Rn — линейное отображение, т.е.

Мы предполагать, что в Rn фиксирован стандартный ортонормированный базис и x = (x1, . . . xn). Прежде всего отметим, что произвольное линейное отображение может быть

Кратные интегралы

Интегралы на многообразиях

Приложения

Предметный указатель Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 55 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

представлено как произведение (т.е. суперпозиция) элементарных:

θ = θ1θ2 · . . . · θN .

Под элементарным линейным отображением θ понимается одно из двух отображений следующего вида:

1. Растяжение (сжатие) по фиксированной оси

θ(x1, . . . xi, . . . xn) = (x1, . . . , cxi, . . . xn) .

2. Изменение одной координаты на величину другой:

xk 7→xk (k 6= i) , xi 7→xi + xj ,

т.е., например, при i < j

θ(x1, . . . xi, . . . xj, . . . xn) = (x1, . . . , xi + xj, . . . xj . . . xn) .

Матрица отображения θ первого типа имеет вид

1 . . . 0 . . . 0

.... ... ...

..

0 . . . 0 . . . 1

Кратные интегралы

Интегралы на многообразиях

Приложения Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 56 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

(здесь единицы занимают диагональ и еще одна единица расположена в i-ой строке j-го столбца, остальные — нули.) Утверждение о разложении линейного отображения в произведение таких элементарных станет очевидным, если вспомнить, что в методе Гаусса к элементарным преобразованиям помимо названных относилась, также, перестановка двух координат (т.е. преобразование, которое меняет местами две строки матрицы). Однако такая перестановка легко сводится к суперпозиции описанных выше элементарных преобразований:

(. . . xi . . . xj . . .) 7→(. . . xi − xj . . . xj . . .) 7→

(. . . xi − xj . . . xi . . .) 7→(. . . − xj . . . xi . . .) 7→(. . . xj . . . xi . . .) .

Напомним, далее, определение определителя линейного оператора. Пусть Ω — функция n переменных векторов x1, . . . xn (отметим, что n — размерность пространства Rn), принимающая вещественные значения. Она называется полилинейной антисимметричной n-формой или формой объема, если она линейна по каждому аргументу и равна нулю всякий раз, когда два каких либо ее аргумента совпадают:

1. Линейность по первому аргументу:

и аналогично по остальным аргументам.

Кратные интегралы

Интегралы на многообразиях Приложения

Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 57 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

2. Антисимметричность (кососимметричность):

Ω(. . . x . . . x . . .) = 0 .

Любую функцию, линейную по своим аргументам, достаточно уметь вычислять на базисных комбинациях векторов: форма Ω однозначно задается своими nn значениями

Ω(ei1 , . . . ein ) ,

где e1, . . . en — базисные векторы. Однако в силу антисимметричности, среди этих значений большинство заведомых нулей (если среди индексов i1, . . . in имеются одинаковые). Неравные нулю значения появляются лишь в случае, когда индексы i1, . . . in образуют перестановку чисел 1, 2, . . . n. Заметим, далее, что перестановка любых двух аргументов функции Ω влечет изменение знака функции:

0= Ω(. . . x + y, . . . x + y, . . .)

=Ω(. . . x, . . . x, . . .) + Ω(. . . x, . . . y, . . .) + Ω(. . . y, . . . x, . . .) + Ω(. . . y, . . . y, . . .)

=Ω(. . . x, . . . y, . . .) + Ω(. . . y, . . . x, . . .) ,

откуда

Ω(. . . x, . . . y, . . .) = −Ω(. . . y, . . . x, . . .) .

Это означает, что все ненулевые значения Ω(ei1 , . . . ein ) (на перестановках векторов базиса) определяются одним единственным значением Ω(e1, . . . en) и отличаются от него лишь множителем равным, знаку перестановки:

Ω(ei1 , . . . ein ) = sgn i · Ω(e1, . . . en) .

Отсюда вытекает, что полилинейные антисимметричные n-формы образуют одномерное векторное пространство. Стандартную базисную форму объема, т.е. удовлетворяющую нормировке

Ω(e1, . . . en) = 1 ,

Кратные интегралы Интегралы на многообразиях

Приложения

Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 58 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

Кратные интегралы

Интегралы на многообразиях

Приложения

Предметный указатель Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 59 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

Последнее равенство может быть переписано в виде

θ(x1) . . . θ(xn) = det θx1 . . . xn ,

откуда выводится правило вычисления определителя det θ:

Теорема 5.1. Пусть θ1 и θ2 — линейные отображения Rn → Rn. Тогда

det(θ1θ2) = det θ1 det θ2 .

Доказательство.

det(θ1θ2) = θ1θ2(e1) . . . θ1θ2(en) = det θ1 · θ2(e1) . . . θ2(en)

= det θ1 det θ2e1 . . . en = det θ1 det θ2 .

5.2.2.Коэффициент искажения

Лемма 5.2. Если D — жорданово и θ — элементарное линейное отображение первого вида (т.е. растяжение, см. предыдущий пункт), то

V (θ(D)) = | det θ| · V (D) .

Кратные интегралы

Интегралы на многообразиях

Приложения

Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 60 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход