[ Миронченко ] Императивное и объектно-ориентированное програмирование на Turbo Pascal и Delphi

31

Для закрепления материала я приведу еще несколько примеров представления чисел в двоичной системе:

37 = 32 + 4 +1 = 1 25 +1 22 +1 20 = 1001012 255 = 128 + 64 + 32 +16 + 8 + 4 + 2 +1 = 111111112

Переводить числа из различных систем счисления назад в десятичную ССч еще

Теперь мы построим алгоритм перевода чисел из десятичной ССч в двоичную. Предположим сначала, что у нас есть некоторое неизвестное число в десятичной системе. Как бы мы искали его цифры. Цифру в младшем разряде легко найти, если вычислить остаток от деления числа на 10. Если же разделить его на 10 (с отбрасыванием остатка), то мы получим число, в котором отброшена последняя цифра. Например, если исходное число =124, то мы получим числа 4 и 12. Затем, применяя к усеченному числу те же действия, мы получим 2-ю цифру и т.д.

Фактически, для перевода из 10-й ССч в 2-ю мы будем использовать тот же самый алгоритм, только делить будем на двойку. К такому же алгоритму можно прийти и из других соображений: перепишем правую часть формулы (1) следующим образом:

Давайте рассмотрим пример: представим число 43 в двоичной ССч.

43 = 1+ 2 21 , поэтому d0 = 1 21 = 1+ 2 10 , поэтому d1 = 1 10 = 0 + 2 5 , поэтому d2 = 0

5 = 1+ 2 2 , d3 = 1 2 = 0 + 2 1 d4 = 0

1 = 1+ 2 0 d5 = 1

Итого, получим: 4310 = 1010112

Ясно, что аналогичный алгоритм можно адаптировать и для перевода дробных, а не только натуральных чисел. Если дробь непериодическая, то проблем не возникает. В противном случае вышеприведенный алгоритм использовать нельзя, т.к. он будет бесконечен. Решение этой проблемы вынесено в упражнения.

1.5. Арифметические действия в двоичной системе счисления

Информация в современных компьютерах представляется в виде последовательности битов. Поэтому для ПК «родной» системой счисления является двоичная. Нашей первоочередной задачей будет научиться производить арифметические операции с натуральными числами, записанными в двоичной системе счисления.

Начнем со сложения. Таблица сложения для двоичных чисел предельно проста:

32

02 + 02 = 02 12 + 02 = 02 +12 = 12

12 +12 = 102

Складывать двоичные числа будем «в столбик», аналогично тому, как мы это делали в начальной школе с десятичными числами.

Рассмотрим пример 59 + 46 = 105

Теперь давайте научимся умножать двоичные числа:

1.6. Представление двоичных чисел в ПК

Любой переключатель может кодировать 2 значения: включен/выключен, которые можно отождествить с числами 0, 1. В компьютерной технике все аналогично: сделать память на основе элементов, которые могут находиться в 2-х состояниях проще, чем на основе элементов, принимающих 10 различных значений. Но просто перенести все рассуждения из математики в программирование нельзя. Причина лежит на поверхности: ведь кроме 0 и 1 мы использовали еще 2 символа: «-» и «.» (двоичную точку). Значит, перед тем, как использовать числа в ПК, надо избавиться от необходимости использовать эти 2 символа. Только представление натуральных чисел в математике и в ПК совпадают.

Представление целых чисел

Мы с вами рассмотрим лишь представление целых чисел. Пусть для определенности количество двоичных разрядов =3. Логичный способ такой: пусть старший бит числа будет знаковым: если он равен 0, то число – положительное, если 1

– то отрицательное. Т.е. все числа вида 0** - положительные, а вида 1** - отрицательные.

Теперь надо ввести порядок на множестве целых чисел. Это можно сделать различными способами. Естественно, лучшим способом будет такой, согласно которому арифметические операции и операции сравнения будут выглядеть наиболее просто.

Одним из таких «хороших» порядков будет следующий (для чисел, на которые выделяется 3 бита):

33

Называется такое представление двоичных чисел двоичным дополнительным кодом (ДДК). Неотрицательные числа, записанные в ДДК, в 10-ю систему переводятся так же, как и натуральные числа, записанные в обычной двоичной ССч. Процедура перевода отрицательных чисел будет иной: сначала инвертировать число (т.е. заменить нули на единицы, а единицы на нули), что соответствует взятию симметричного числа с другого края таблицы, а затем прибавить к полученному числу единицу (т.к. натуральные числа начинаются с 0, а не с 1), и результат перевести в десятичную систему как натуральное число. Ответом же будет это число со знаком «-».

Пример 1: пусть на запись целого числа выделяется 3 бита. Требуется перевести число 101ДДК (число 101, записанное в ДДК) в десятичную систему счисления.

Решение: старший бит равен 1, поэтому число – отрицательное. Сначала инвертируем число 101. Получим 010. Прибавляя единицу, получим 011. Это число переводим в десятичную систему как обычное натуральное число: 0112 = 310 .

Значит 101ДДК = −310 .

Пример 2: пусть на запись целого числа выделяется 5 битов. Надо перевести число 10000ДДК в 10-ю систему счисления.

Решение: старший бит равен 1, поэтому число – отрицательное. Проделаем необходимые операции: 10000 → [инвертируем] → 01111 → [прибавляем 1] → 10000 .

Теперь надо перевести число 10000 (это уже обычное двоичное натуральное число, а не целое число, записанное в ДДК).

100002 = 162

Значит 10000ДДК = −1610 .

Сравнивать положительные числа между собой можно просто: начать сравнение со старших битов и, как только будут найдены биты с различными значениями, то число, в котором находится 0, будет меньше. Видно, что абсолютно аналогично можно сравнивать и отрицательные числа, что очень хорошо. Более того, сложение и умножение чисел, заданных с помощью ДДК, можно выполнять по тому же алгоритму, что и умножение натуральных чисел.

Например:

−210 210 = 110ДДК 010ДДК = [применяем обычный алгоритм] = 1100

Ответ в выражении занимает 3 бита, поэтому все биты, которые выходят за допустимые 3 бита, будут уничтожены, и результат получится:

110ДДК 010ДДК = 100ДДК = −410 .

Чтобы понять, почему алгоритмы выполнения арифметических операций для чисел, записанных в ДДК, не отличаются от соответствующих алгоритмов для натуральных чисел, запишем целые числа, заданные в ДДК, так, как показано на рисунке 1.3.

Стрелка показывает направление роста двоичных чисел, которые

34

прибавление 111ДДК , т.е. сдвиг на 7 единиц. Т.к. всего чисел 8 = 23 , то сдвиг на 7 единиц

по направлению стрелки это то же самое, что и сдвиг на 1 единицу в обратную сторону. Абсолютно аналогично, прибавление −2 = 110ДДК означает сдвиг на 6 клеток по

направлению стрелки = сдвиг на 2 клетки против движения стрелки. Следовательно, алгоритм сложения целых чисел, записанных в ДДК, точно такой же, как и алгоритм сложения обычных натуральных чисел. Аналогично можно рассмотреть и умножение целых чисел, записанных в ДДК.

Рис 1.3 Круг целых чисел

При выполнении арифметических операций нужно контролировать выход за границы диапазона чисел (например: −4 + (−1) = 100ДДК +111ДДК = 011ДДК = 3). Мы не будем разбирать, как это делается, т.к. эта тема больше подходит курсу ассемблера.

1.7. Шестнадцатеричная ССч

Помимо двоичной системы счисления часто используется шестнадцатеричная ССч. В ней числа записываются с помощью 16 цифр: 0,1,2,…,9, A, B, C, D, E, F. Цифрам A, B, C, D, E, F в десятичной ССч соответствуют числа 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Для перевода числа в шестнадцатеричную ССч надо записать число n в виде n = 16k −1 dk −1 +16k −2 dk −2 + ... +160 d0 , где все di - шестнадцатеричные цифры (0,1,….9, А, B,

C, D, E, F). Теперь записывая подряд все цифры, получим запись заданного числа в 16ричной ССч.

Например:

132=16 8+160 4 = 8416

78=16 4+160 E = 4E16

Шестнадцатеричные числа полезны, так как они позволяют упростить запись 2- ых чисел (см. упражнение № 17). Хорошо разобравшись в двоичной ССч, вы без труда сумеете выполнять арифметические операции и в 16-й ССч.

1.8. Более общая точка зрения на системы счисления

Когда мы переводили число n из десятичной ССч в двоичную, мы искали коэффициенты ci в разложении n = c0 20 + c1 21 + ... + ck 2k + ..., а после этого упорядоченный

36

начиная со 2-го месяца своего рождения. Можно проверить, что если изначально есть 1 пара только что родившихся кроликов, то количество пар кроликов в зависимости от месяца составит как раз последовательность Фибоначчи.

Чтобы вы освоились с этими числами, докажем простое свойство:

f1 + f2 + ... + fn = fn+2 − 2

Доказательство:

Из определения ЧФ получаем: f1 = f2 − f0

f2 = f3 − f1

fn = fn+1 − fn−1

Сложим числа f1, f2 ,..., fn . Получим:

f1 + f2 + ... + fn = ( f2 − f0 ) + ( f3 − f1 ) + ( f4 − f2 ) + ... + ( fn+1 − fn−1 ) = − f0 − f1 + fn + fn+1 = fn+2 − 2

У ЧФ есть много других замечательных свойств. Некоторые из них приведены вам в качестве задач.

Теперь мы займемся тем, раде чего и затевали сыр-бор, т.е. фибоначчиевой ССч.

Лемма: n N существует представление в виде суммы различных чисел

Фибоначчи.

Доказательство:

Пусть дано число k . Если k - ЧФ, то лемма доказана. В противном случае найдем максимальное из чисел Фибоначчи, которое меньше k . пусть это число - fi0 .

Тогда k = k1 + fi0 . Теперь найдем максимальное число Фибоначчи, меньшее k1 -

пусть это - fi1 . Тогда k = fi0 + fi1 + k2 . Замечу, что какое бы ни было число k , fi0 и fi1 не будут совпадать. Если бы это было бы не так, то тогда выполнялось бы неравенство

Фибоначчи, то мы доказали то, что хотели. А иначе и быть не может, т.к. для любого натурального числа r найдется число Фибоначчи, которое будет ≤ r .

выберем A = ( f1,..., fn ,...) и укажем правило, по которому можно добиться однозначности

разложения, то мы построим систему счисления.

Но что хорошо: доказывая предыдущую лемму мы использовали алгоритм, связанный с выделением на каждом шаге наибольшего фибоначчиевого слагаемого. Его мы и возьмем в качестве правила. Фибоначчиева ССч построена.

Давайте теперь напишем несколько представлений чисел в ФССч:

20=2+5+13=f2 + f4 + f6 = 0 f1 +1 f2 + 0 f3 +1 f4 + 0 f5 +1 f6 .

38

Как видите, индукция – замечательный способ доказательства, однако чтобы применять его надо знать, что доказывать. Что бы мы делали, если бы не знали ответа заранее? К счастью, иногда утверждения можно довольно легко сформулировать, и тогда индукция всесильна. Кроме того, данный метод можно обобщить, доказывая утверждения не только для натуральных чисел, но и для более сложных множеств.

1.11. Логарифмы

Число x называется логарифмом числа a по основанию b , если a = bx . Обозначается: x = logb a .

1

Например: log2 8 = 3 , т.к. 8 = 23 , log9 3 = 1 , т.к. 3 = 92 . 2

Давайте рассмотрим несколько свойств логарифмов:

1.Сразу из определения вытекает, что a = blogb a .

2.logc ab = b logc a

1.12.Последовательности и прогрессии

•Последовательностью чисел называется упорядоченный набор чисел.

•Арифметической прогрессией называется последовательность чисел, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на постоянное число, именуемое разностью прогрессии, или аn+1 = аn + d = a1 + nd , n > 1

Например, натуральный ряд 1,2,3, … , n, ... – арифметическая прогрессия, начинающаяся с 1, и с разностью прогрессии =1.

Давайте выведем формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии. Можно это сделать, замечая, что сумма первого и последнего слагаемого равна сумме второго и предпоследнего слагаемого и т.д. Но это доказательство слишком известно, поэтому мы пойдем другим путем. Сначала преобразуем сумму:

а1 + а2 + ... + аn = a1 + a1 + d + ... + a1 + (n −1)d = na1 + d (1+ 2 + ... + (n −1))

Обозначим: S1 (n −1) = 1+ 2 + ... + (n −1) . Теперь вычислим S1 (n −1) .

Сделать это можно таким красивым способом: чтобы вычислить S1 (n) будем отталкиваться от S2 (n) = 12 + 22 + ...+ n2

S2 (n) = 12 + (1+1)2 + ... + (n −1+1)2 = 12 + (12 + 2 1+12 ) + (22 + 2 2 +12 ) + ... + ((n −1)2 + 2(n −1) +12 ) =

= 12 + 22 + ... + (n −1)2 + n + 2(1+ 2 + ... + (n −1)) .

А теперь ясно, что n + 2(1+ 2 + ... + (n −1)) = n2 и

S1 (n −1) = 1+ 2 + ... + (n −1) = n(n −1) 2

Этот способ выглядит сложнее, чем тот, о котором я говорил вначале, но с его помощью можно получить рекуррентные формулы для S p (n) = 1p + 2p + ... + n p .