[ Миронченко ] Императивное и объектно-ориентированное програмирование на Turbo Pascal и Delphi

181

81:R[i]:=0;

82:Sp[i]:=0;

83:end;

84:d1:=0;

85:d2:=0;

86:S:=n*(n*n+1) div 2;{Вычисляем магическую константу}

87:QuantMag:=0;

88:StellNeu(1,1);

89:Magisch:=QuantMag;

90:end;

91:

92:var

93:f:longint;

94:begin

95:f:=Magisch(n);

96:writeln('Количество маг. кв. порядка ',n,' равно ',f);

97:end.

Если честно, то квадраты 4-го порядка эта программа еще выдает за обозримое время, но с магическими квадратами 5-го порядка дело идет совсем туго. Можете попытаться модернизировать алгоритм, сделав его итерационным и таким, который бы учитывал симметрию. Однако программа все равно будет работать долго – задача слишком сложна.

Задачи

1.Пусть х – n-мерный массив, А,B,C – квадратные матрицы порядка n. Вычислить: а)

С=А+В; б) y=Ax;

2.Найти сумму элементов матрицы.

3.Найти максимальный и минимальный элемент в матрице.

4.Переставить первый и последний столбцы матрицы.

5.Дана прямоугольная матрица А размера m n и массив В логических переменных размера m. По матрице А получить массив В, присвоив его k-му элементу значение true, если элементы k-й строки матрицы А упорядочены по убыванию, и false в противном случае.

6.Дана прямоугольная вещественная матрица. Упорядочить ее строки по неубыванию: а) первых их элементов; б) суммы их элементов;

в) их наибольших элементов.

7.Определить, является ли заданная матрица симметрической (матрица A симметрическая, если A = AT ).

8.Элемент матрицы назовем его седловой точкой, если он является наименьшим в своей строке и одновременно наибольшим в своем столбце или, наоборот, является наибольшим в своей строке, и наименьшим в своем столбце. Для заданной целой матрицы напечатать индексы всех ее седловых точек (печатать в виде (i,j)).

9.Дана квадратная вещественная матрица, все элементы которой различны. Найти скалярное произведение строки, в которой находится наибольший элемент матрицы на столбец с наименьшим элементом.

10.Пусть вам дана таблица шашечного турнира:

Напишите программу, которая по данной таблице встреч участников печатает эту же таблицу, но для обратного порядка следования участников.

элементы можно заполнить нулями).

11.Обобщите предыдущую задачу на случай того, если новый порядок следования игроков может быть произвольный, и задается некоторой подстановкой (т.е. строки (1,2,…,n) переходят в строки (i1,i2 ,...,in ) , например, если (1, 2,..., n) → (n, n −1,...,1) , то получим предыдущую задачу).

12.Дана квадратная матрица порядка n. Заполните по спирали матрицу числами от 1 до

n 2 . Спираль должна начинаться в верхнем левом углу матрицы, и заканчиваться в ее центре. Вид решения для n=5 таков:

13.Бинарный поиск в матрице. Дана матрица размера n m , упорядоченная по строкам и столбцам: x[i, j] ≤ x[i +1, j], x[i, j] ≤ x[i, j +1]. Требуется найти в матрице элемент а. Количество действий должно быть порядка n + m .

14.Дан массив с элементами типа byte. Надо узнать количество различных элементов в нем. Количество действий должно быть порядка cn, где n – длина массива.

15.Вычислить все простые числа в диапазоне 0..255 с помощью решета Эратосфена. Алгоритм заключается в следующем: Берем первое число – двойку, и вычеркиваем все числа, кратные двум, кроме самой двойки, затем берем наименьшее из невычеркнутых чисел, больших двух, и вычеркиваем все кратные ему, и т.д., пока из множества не будут вычеркнуты все ненужные элементы.

16.Обобщить метод решета Эратосфена так, чтобы можно было вычислять простые числа в большем диапазоне.

183

17.Пусть M - магический квадрат порядка n , составленный из чисел 1, 2,..., n2 . Обозначим через M k магический квадрат, получающийся заменой каждого числа m на m + (k −1)n2 . Докажите, что заменив каждое число k на магический квадрат M k , получим магический квадрат порядка n2 .

18.В 1910 году Клиффорд У. Адамс принялся на поиски магического шестиугольника 3-го порядка. Адамс взял 19 керамических плиток с числами от 1 до 19 и начал составлять из них различные шестиугольники, пытаясь найти магический, т.е. такой, чтобы сумма чисел в каждом ряду из прилегающих друг к другу шестиугольников была одинакова (все ряды приведены на следующих 3-х рисунках). 47 лет Адамс пытался найти такой шестиугольник, пока наконец в 1957 году не нашел решения. Он начертил его на бумаге, но потом потерял ее и еще 5 лет восстанавливал решение. Удивительно, но впоследствии выяснилось, что этот шестиугольник единственный (с точностью до поворотов и отражений) шестиугольник 3-го порядка, а также то, что шестиугольников порядка не равного 3 не существует вообще (кроме, естественно, шестиугольника 1-го порядка). Вам предлагается сделать то, над чем бедный Адамс трудился 52 года. Посмотрим, за сколько времени с этой задачей справитесь вы.

184

Проект 2: Теория голосования

Пусть идут выборы президента, и на высшую государственную должность есть 4 претендента: a, b, c, d. Был проведен социологический опрос, который показал, что всех избирателей (80 человек, или, если хотите, миллионов человек) можно разбить на 5 групп:

I II III IV V

15 11 23 21 10

Первый столбик означает: 15 избирателей считают, что а – самый лучший кандидат, за ним идет b, далее – d, а кандидат с – самый плохой.

Наша цель узнать, кто из кандидатов станет победителем, если результаты соцопроса подтвердятся при голосовании.

Давайте считать, что победителем на выборах будет тот кандидат, который набрал наибольшее количество голосов в 1-м туре (такая процедура называется

правилом относительного большинства). Для данной таблицы победителем будет кандидат А, т.к. за него проголосуют 36 кандидатов, а за ближайшего из претендентов, С, проголосуют лишь 23 избирателя.

Это – простейшая система выборов, которая, тем не менее, применяется очень

часто.

Давайте рассмотрим вторую распространенную систему избрания президента, которая используется, например, в Украине. Эта система называется правило

голосования с последовательным исключением. Согласно этой системе если в первом туре ни один из кандидатов не набрал абсолютного большинства голосов (свыше 50%), то проводится второй тур, в котором участвуют 2 кандидата, набравшие в первом туре наибольшее количество голосов, и победитель второго тура и будет победителем выборов.

Давайте проанализируем результаты соцопроса. Во второй тур выйдут кандидаты А и С, а голоса избирателей, считавших, что наилучшие из кандидатов – B и D разделятся между ними. Так как и вторая, и четвертая группы избирателей считают, что кандидат С лучше, чем А, то они и проголосуют за С. В результате во втором туре кандидат А наберет 36 голосов, а кандидат С – 44 голоса. Победителем будет С!

Выходит, что при одних и тех же настроениях избирателей победителями будут разные кандидаты. Сталин говорил: «Главное не то, как проголосовали, а то, как подсчитали». И это - правда! Более того, большинство избирателей считают А самым худшим из кандидатов, и С тоже не сильно любят, а ведь именно они и стали победителями. Очевидно, что надо придумать методику подсчета голосов, учитывающую степени симпатии/антипатии избирателей к кандидатам.

Первая попытка критического анализа процедур голосования была предпринята лишь в конце XVIII века во Франции. Основоположниками теории голосования являются 2 ученых, членов Парижской АН: Мари Жан Антуан Никола Корита, маркиз де Кондорсе и Жан Шарль де Борда.

185

Давайте рассмотрим правило, предложенное Борда для таблицы голосования, используемой ранее.

Согласно этой системе за последнее место дается 0 баллов, за предпоследнее – 1 балл, и так далее. Затем считаем сумму очков для каждого из кандидатов. Тот, который набрал наибольшее количество баллов, и объявляется победителем. Давайте подсчитаем:

BA = 15 3 + 0 11+ 0 23 + 21 3 + 0 10 = 108 BB = 30 + 33 + 23 + 21+ 20 = 127

BC = 11+ 69 +10 = 90

BD = 185 .

Итак, согласно процедуре Борда, победитель – кандидат D, причем количество баллов, набранных им, более чем в 2 раза превосходит количество баллов, полученных С.

Теперь у нас уже три разных победителя при тех же настроениях зрителей, так что справедливость той или иной процедуры подсчета голосов – понятие весьма относительное.

Сейчас я приведу в качестве примера модуль с некоторыми вспомогательными процедурами, а затем мы рассмотрим еще несколько систем обработки голосов избирателей.

Пример: Процедура случайного заполнения матрицы голосования. unit HelfAbst;

interface const

n=3;{Количество кандидатов} m=6;{Количество групп избирателей}

type

Matrix=array[1..n,1..m] of integer;{матрица голосования} Gruppen=array[1..m] of integer;

Kandidaten=array[1..n] of integer;

{gleich - одинаковый, die Spalte - столбец

(сравните с украинским шпальта (колонка)

Возвращает true, если в матрице А столбцы ind1, ind2 одинаковы} function SindGleichen(var A:Matrix;ind1,ind2:integer):boolean; {Заполняет матрицу голосования случайными группами}

procedure RandMat(var A:Matrix);

{Находит максимальное число в массиве (первое попавшееся)} function max(var K:array of integer):integer;

implementation

186

function SindGleichen(var A:Matrix;ind1,ind2:integer):boolean; var i:integer;

begin

for i:=1 to n do

if (A[i,ind1]<>A[i,ind2]) then begin

SindGleichen:=false;

exit;

end;

SindGleichen:=true;

end;

procedure RandMat(var A:Matrix); var

i,j,k:integer;

flag:boolean;

ind,ind2,tmp:integer; begin

for j:=1 to m do begin

for i:=1 to n do{Заполняем по порядку} A[i,j]:=i;

for i:=1 to n do {Случайно переставляем все элементы} begin

ind:=random(n)+1;{Получаем место, куда переставить текущий

элемент}

tmp:=A[i,j]; {Переставляем }

A[i,j]:=A[ind,j]; {i-й и ind-й элементы j-го столбца} A[ind,j]:=tmp;

end;

repeat {Проверяем на совпадение с некоторым из столбцов} flag:=true;{Считаем, что совпадений нет}

for k:=1 to j-1 do

if SindGleichen(A,k,j) then begin

flag:=false; {Нашли одинаковые столбцы} ind:=random(n)+1;

ind2:=random(n)+1;

tmp:=A[ind,j]; {Меняем местами 2 случайных элемента} A[ind,j]:=A[ind2,j];

A[ind2,j]:=tmp;

break;

end;

until flag=true; end;

end;

function max(var K:array of integer):integer; var

i,ind,tmp:integer; begin

187

tmp:=K[0];

ind:=0;

for i:=0 to High(K) do if K[i]>tmp then

begin tmp:=K[i]; ind:=i; end;

max:=ind+1;{+1 т.к. индексация внутри процедуры смещена на -1} end;

end.

--------------------основной файл-----------------------

uses Crt,

MatrArru,{для процедур InputMass и WriteMass} HelfAbst;

var Mat:Matrix; G:Gruppen;

{Процедура относительного большинства}

function Beste1Tur(var A:Matrix;var G:Gruppen):integer; var

K:Kandidaten;

i,j:integer; begin

for i:=1 to n do K[i]:=0;

for j:=1 to m do K[A[1,j]]:=K[A[1,j]]+G[j];

Beste1Tur:=Max(K);

end; begin

clrscr;

randomize; writeln('enter A'); RandMat(Mat); WriteMass(Mat,n,m); writeln('enter G'); InputMass(G,1,m);

writeln('Победитель: ',Beste1Tur(Mat,G)); readkey;

end.

Думаю, что вы, как опытные программисты, уже можете легко разобраться в этом модуле самостоятельно. Однако необходимо отметить, что функция Max (использующаяся в Beste1Tur) возвращает первое из максимальных значений, встретившихся в массиве, что не соответствует постановке задачи: нам надо, чтобы процедура находила наибольшее значение (а оно может быть лишь одно), либо уведомляла о том, что наибольшего элемента не существует.

Теперь давайте рассмотрим еще 2 правила определения победителя выборов. Обобщенное правило Борда. В правиле Борда худшему кандидату давалось 0 очков, и каждому следующему – на один балл больше. Но при большом числе кандидатов

188

избиратели просто не знают многих из них, и расставят всех, за исключением нескольких наилучших и наихудших, наугад. Обобщенное правило Борда учитывает этот недостаток: за i -е место в дается si баллов. Причем s1 ≥ s2 ≥ ... ≥ sn , и s1 > sn , где n -

количество кандидатов.

Процедура Кондорсе: победителем по Кондорсе называется кандидат, который побеждает любого другого кандидата при парном сравнении по правилу большинства.

Часто бывает, что победителя по Кондорсе вообще нет. Такая ситуация называется парадоксом Кондорсе.

Задачи по теории голосования

1.Изменить функцию Max, чтобы процедура определения победителя для правила относительного большинства работала правильно.

2.Написать процедуру определения победителя для голосования с последовательным исключением.

3.Написать процедуру определения победителя для обобщенного правила Борда.

4.Написать процедуру определения победителя для процедуры Кондорсе.

5.Придумайте свою систему выявления победителя и напишите соответствующую процедуру к ней.

6.Представьте, что президент некоторой страны - хитрый и нечистый на руку человек. По его заказу был проведен широкомасштабный соцопрос. У этого президента есть возможность заставить председателя Центральной Избирательной Комиссии выбрать ту процедуру голосования, какую он посчитает нужной. Вы – главный программист того кандидата, который является наиболее достойным из тех, кто собирается занять президентское кресло и поэтому вы должны написать программу, которая определит, какую из процедур голосования (всех приведенных мною, исключая обобщенное правило Борда) выберет этот президент-хитрюга, чтобы ваш кандидат знал, где ждать подвоха, и какие аргументы нести в Конституционный суд.

7.Представьте, что этот президент из предыдущей задачи так надоел народу, что ни одна из процедур не спасает его от поражения. Для того, чтобы не прибегать к фальсификации выборов и насилию, он хочет испытать последний шанс – попытаться подобрать коэффициенты к обобщенной процедуре Борда так, чтобы он все-таки был избран на второй срок. Вы должны проверить и эту возможность, и попытаться найти набор коэффициентов (хотя бы один), который обеспечит победу нынешнему президенту.

190

Под переменную st1 резервируются 256 байт, а под переменную st2 – только 21.

К строкам можно применять операции +, <, >, <=, >=, =, <>. + - операция конкатенации (сцепления).

Str1:=str1+str2; означает, что к строке str1 присоединяется строка str2.

Если в переменную s типа string присвоить строку, длина которой превышает длину переменной s, то все лишние символы будут отброшены.

Сравнения строк производятся поэлементно, слева направо, с учетом кодировки

ASCII.

Например:

‘Apple’>’Apfel’ (код ‘f’ меньше, чем код ‘р’) ‘111’<’a11’ (код ‘1’ меньше, чем код ‘a’)

Основные подпрограммы для работы со строками:

• function Copy (st:string; index,numb:integer):string;

Копирует из строки st numb символов, начиная с номера index.

• procedure Delete(var st:string;index,numb:integer);

Удаляет из строки st numb символов, начиная с номера index.

• function Length(st:string):integer;

Возвращает длину строки, т.е. количество символов в ней (а не объем памяти, которая была выделена под переменную).

•procedure Insert(sub:string; var st:string;index:integer);

Вставляет строку sub в строку st, начиная с номера index.

•function Pos(SubS,S:string):byte;

Возвращает позицию, начиная с которой в строке S располагается подстрока

SubS (0 – S не содержит SubS).

Пример 2: Простейшие приемы работы со строками.

1 : unit ZeilenU; {Zeile = строка}

2 :

3 : interface

4 :

5 : function IstKorrekt (const st:string):boolean;

6 : {Функция, проверяющая, правильно ли стоят в строке скобки} 7 : function ZeilUpCase (const st:string):string;

8 : {Функция, которая возвращает строку, у которой все строчные 9 : латинские буквы заменены на заглавные}

10:function Umdrehung(const st:string):string; {Umdrehung =

переворот}

11:{Функция, которая возвращает "перевернутую" строку}

12:

13: implementation 14:

15:function Umdrehung(const st:string):string;

16:var

17:h,i:byte;

18:begin

19:h:=length(st);