Внутреннее представление данных

vk.com/club152685050

Внутреннее представление данных типа int

Язык C/C++ поддерживает IEEE-стандарт внутреннего представления данных типа int

Институт инженеров по электротехнике и электронике — IEEE (англ.Institute of Electrical and Electronics Engineers) (I triple E — «Ай трипл и») — международная некоммерческаяассоциация специалистов в области техники, мировой лидер в области разработки стандартов по радиоэлектронике и электротехнике.

Тип "целое" включает данные типа char, short int, long вместе со всеми их вариантами signed и unsigned.

Данные типа short int занимают 2 байта

short int

SЗначение числа

S – знаковый разряд числа

S=0 – число положительное

S=1 – число отрицательное

Положительные числа хранятся в памяти и вступают в операции в прямом коде, т.е. в обычном двоичном представлении числа. Отрицательные числа хранятся в памяти компьютера в дополнительном коде.

X2 = 1 111 1111 1101 1111 дополнительный код (FFDFh) int

vk.com/club152685050

Внутреннее представление данных с плавающей точкой

Типы данных с плавающей точкой хранятся в памяти компьютера иначе, чем целочисленные.

С/С++ поддерживает IEEE-стандарт (IEEE 754-2008 - стандарт двоичной арифметики с плавающей точкой, краткое изложение http://www.softelectro.ru/ieee754.html, 1985 год – первая версия стандарта).

IEEE Computer Society. IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic. IEEE Standard 754-2008, August 2008.

В соответствии с этим стандартом данные представляются в виде двух частей – мантиссы М и порядка Р числа в двоичной системе счисления.

С = М*2Р

Число бит для хранения мантиссы и порядка зависит от типа данных с плавающей точкой float

S – знак числа

P – сдвинутый порядок числа (порядок+смещение)

M – мантисса числа

Вещественное число хранится в памяти с нормализованной мантиссой. У нормализованной двоичной мантиссы старший бит всегда равен 1, поэтому он не хранится в памяти. Это экономит 1 бит и, следовательно, увеличивает точность представления двоичного числа. Эта единица присутствует неявно и называется неявной единицей (implicate one). Отбрасывание старшей цифры мантиссы выполняется для форматов float double, но не выполняется для long double.

Порядок числа хранится «сдвинутым», т.е. к нему прибавляется число так, чтобы порядок был всегда неотрицательный. Для чисел формата float прибавляется 127, для double 1023. Всегда неотрицательный порядок избавляет от необходимости выделять один бит для хранения знака и упрощает выполнение операций сравнения порядков и арифметических операций над ними.

Пример. Перевод десятичного вещественного числа в формат одинарной точности

vk.com/club152685050

float x,y,z; x=123456789; y=123456788; z=x-y;

cout<<"Result: "<< z<<endl;

Result=8

Если пример посчитать на бумажке, то ответ будет 1. Абсолютная ошибка равна +7. Почему ответ получился неправильным?

Число 123456789 в single=4ceb79a3 4CEB79A3hex(ieee)=123456792(dec) абсолютная ошибка представления равна +3

Число 123456788 в single=4CEB79A2hex(ieee)=123456784(dec) абсолютная ошибка представления равна -4

Относительная погрешность исходных чисел приблизительно равна 3,24e-6%

В результате одной операции относительная погрешность результата стала 800%, т.е. увеличилась в 2,5e+8 раз.

Это я называю "Опасной редукцией", т.е. катастрофическим понижением точности вычислений в операция где абсолютное значение результата много меньше любого из входного значения переменных.

На самом деле ошибки точности представления числа наиболее безобидные в компьютерных вычислениях, и обычно многие программисты на них не обращают никакого внимания. Тем не менее они вас могут сильно огорчить.