22. Непрерывные случайные величины. Функция распределения непрерывной случайной величины.

Непрерывной случайной величиной называется случайная величина, все возможные значения которой целиком заполняют некоторый промежуток на числовой прямой.

Функция распределения непрерывной случайной величины: 

Функция не убывает и непрерывна, причем производная функции не имеет разрывов на всей числовой оси, за исключением конечного числа точек.

F(-¥)=0; F(+¥)=1.

Вероятность попадания случайной величины Х в интервал a£X<b определяется по формуле: P(a£X<b)=F(b)-F(a).

23. Плотность распределения непрерывной случайной величины.

Функция  называется плотностью распределения вероятностей, или кратко, плотностью распределения. Если x1<x2, то

Свойства:

1.Плотность распределения неотрицательна:  .

2. Интеграл по всей числовой прямой от плотности распределения вероятностей равен единице: 

3. В точках непрерывности плотность распределения равна производной функции распределения:  .

4. Плотность распределения определяет закон распределения случайной величины, т.к. определяет вероятность попадания случайной величины на интервал  :

 .

5.Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение  равна нулю:  . Поэтому справедливы следующие равенства:

 .

24. Равномерное распределение непрерывной случайной величины.

Равномерное распределение. Непрерывная величина  Х  распределена равномерно на интервале (a, b), если все ее возможные значения находятся на этом интервале и плотность распределения вероятностей постоянна:

            (29)

Для случайной величины Х , равномерно распределенной в интервале (a, b) (рис. 4), вероятность попадания в любой интервал (x1, x2), лежащий внутри интервала (a, b), равна:

      

Функция распределения:

Мат.ож:

Дисперсия:

25. Показательное распределение непрерывной случайной величины.

Показательное распределение. Непрерывная случайная величина  Х  имеет показательное распределение, если плотность распределения ее вероятностей выражается формулой:

Функция распределения:

Вероятность попадания в интервал:

Мат. Ож:

Дисперсия:

26. Нормальное распределение непрерывной случайной величины. Вычисление параметров распределения. Правило 3 сигм.

Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид :

Функция распределения
Вероятность попадания в интервал (а;b)
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа δ

Если принять D = 3s, то получаем с использованием таблиц значений функции Лапласа:

Т.е. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю.

Это правило называется правилом трех сигм.