18. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Законом распределения дискретной случайной величины называется функция, связывающая значения случайной величины с соответствующими им вероятностями. Закон распределения может быть задан одним из следующих способов.

1. Закон распределения может быть задан таблицей:

Значения xi	x1	x2	x3	...	xn
Вероятности pi	p1	p2	p3	...	pn

События X = x_i (i = 1, 2, 3,…,n) являются несовместными и единственно возможными, т.е. они образуют полную систему событий. Поэтому сумма их вероятностей равна единице: р₁+р₂+р₃+…+р_n = ∑p_i =1

2. Закон распределения может быть задан аналитически (формулой) P(X = x_i) = ϕ(x_i). Например:

а) с помощью биномиального распределения: P_n(X=k) = С_n^k p^k q^n-k, 0<р<1, k = 0, 1, 2, …, n;

б) с помощью распределения Пуассона:

где λ>0, k = 0, 1, 2, … .

в) с помощью функции распределения F(x), определяющей для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x, т.е. F(x) = P(X < x).

- свойства функции F(x)

3. Закон распределения может быть задан графически – многоугольником (полигоном) распределения

19. Основные законы распределения дискретной случайной величины

Биномиальное распределение.Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью р. Найдем закон распределения случайной величины Х – числа появлений события А. Очевидно, что в этих п испытаниях событие А может появиться 0, 1, 2,…, п–1, п раз. Вероятности этих значений находим по формуле Бернулли:

 .

Распределение Пуассона.Если вероятность р наступления события А в п испытаниях постоянна и мала (  ), а число испытаний достаточно велико (  ), то вероятность того, что при п независимых испытаниях событие А наступит ровно m раз находится по формуле Пуассона:

 , где 

Геометрическое распределение.Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна р, следовательно, вероятность его непоявления  . Испытания заканчиваются, как только появляется событие А.

Пусть в первых  испытаниях событие А не появилось, а в п-ом испытании появилось. Тогда  . Полагая,  получим геометрическую прогрессию:

 .

Случайную величину, распределенную по геометрическому закону, можно интерпретировать как число  опытов (испытаний), проведенных по схеме Бернулли до первого положительного исхода.

Гипергеометрическое распределение.Рассмотрим задачу. Пусть в партии из Nизделий имеется М стандартных (М<N). Отбирают п изделий. Обозначим через с. в. Х– число m стандартных изделий среди п отобранных.

Итак, искомую вероятность найдем как отношение благоприятствующих исходов к общему числу исходов. Число благоприятствующих исходов  . Общее число исходов  . Итак, искомая вероятность равна: