24. «Закон Ома в дифференциальной и интегральной формах» Закон Ома в дифференциальной форме
Найдем
связь между 
и 
в
бесконечно малом объеме проводника
– закон
Ома в дифференциальной форме.
В
изотропном проводнике (в данном случае
с постоянным сопротивлением) носители
зарядов движутся в направлении действия
силы, т.е. вектор плотности тока 
и
вектор напряженности поля 
коллинеарны
(рис. 7.6).
Рис. 7.6
Исходя из закона Ома (7.6.1), имеем:
А
мы знаем, что 
или 
.
Отсюда можно записать
|
|
|
(7.6.3) |
|
,это запись закона Ома в дифференциальной форме.
Здесь 
– удельная
электропроводность.
Размерность
σ – [
].
Плотность
тока можно выразить через заряд
электрона е,
количество зарядов n и
дрейфовую скорость 
:
.
Обозначим 
,
тогда 
;
|
|
|
(7.6.4) |
|
Теперь,
если удельную электропроводность σ
выразить через е, n и b: 
то
вновь получим выражение закона
Ома в дифференциальной форме:
.
Закон Ома в интегральной форме
Для однородного участка цепи, т.е. для
участка, на котором не действуют сторонние
силы, закон Ома записывается в форме
(2.8). Рассмотрим теперь неоднородный участок
цепи 1-2 (рис. 2.8), где действует ЭДС
источника 
и
на концах которого приложена разность
потенциалов 
.
На
рассматриваемом участке работа 
всех
приложенных сил (сторонних и
электростатических), совершаемая над
носителями тока, согласно (2.6) равна:
В
этой формуле ЭДС 
берется
либо с положительным, либо с отрицательным
знаком. Если ЭДС способствует движению
положительных зарядов в направлении
обхода (в направлении 1-2), т.е. внутри
источника обход совпадает с перемещением
зарядов от катода к аноду, то 
(рис.
2.8, а).
Если ЭДС препятствует движению
положительных зарядов в направлении
обхода, то 
(рис.
2.8, б).
По закону сохранения и превращения
энергии работа 
равна
теплоте, выделяющейся на участке 1-2 за
время t (эта
теплота определяется согласно
закону Джоуля-Ленца):
(2.20)
Приравнивая (2.6) и (2.20), получим:
(2.21)
или
(2.22)
где R – суммарное сопротивление, включающее в себя внутреннее сопротивление r источника тока и сопротивление внешней цепи. Выражение (2.21) или (2.22) есть закон Ома в интегральной (обобщенной) форме для цепи постоянного тока.
25
Исто́чник то́ка (в теории электрических цепей) — двухполюсник, создающий в нагрузке электрический ток, причем сила тока не зависит от сопротивления нагрузки. Используются также термины генератор тока и идеальный источник тока. Источник тока — модель реального источника электроэнергии или часть такой модели.
Смещение под действием электрического поля зарядов в проводнике всегда происходит таким образом, что электрическое поле в проводнике исчезает и ток прекращается. Для протекания тока в течение продолжительного времени на заряды в электрической цепи должны действовать силы, отличные по природе от сил электростатического поля, такие силы получили название сторонних сил.
Эти силы могут быть обусловлены химическими процессами, диффузией носителей тока в неоднородной среде, электрическими (но не электростатическими) полями, порождаемыми переменными во времени магнитными полями, и т. д. Всякое устройство, в котором возникают сторонние силы, называется источником электрического тока.
Сторонние силы характеризуют работой, которую они совершают над перемещаемыми по электрической цепи носителями заряда. Величина, равная работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда, называется электродвижущей силой (ЭДС) , действующей в электрической цепи или на ее участке.
26
Преодолевая сопротивление проводника, электрический ток выполняет работу, в процессе которой в проводнике выделяется тепло. Свободные электроны при своем движении сталкиваются с атомами и молекулами и при этих столкновениях механическая энергия движущихся электронов переходит в тепловую.
Зависимость тепловой энергии от силы тока в проводнике определяется по закону Джоуля-Ленца. При прохождении электрического тока по проводнику количество тепла, выделяемого током в проводнике, прямо пропорционально силе тока, взятой во второй степени, величине сопротивления проводника и времени действия тока.
Если количество тепла обозначать буквой Q, силу тока в а — I, сопротивление в ом — R и время в сек.— t, то математически закон Джоуля-Ленца можно представить так:
Q = aI2Rt
При а=1 количество тепла Q получится в джоулях. При а=0,24 количество тепла Q получится в малых калориях. Коэффициент 0,24 в формуле фигурирует потому, что ток в 1 а в проводнике с сопротивлением в 1 ом за 1 сек. выделяет 0,24 малых калорий тепла. Малая калория служит единицей для измерения количества тепла. Малая калория равна количеству тепла, которое необходимо для нагревания 1 г воды на 1° С.
Этот закон независимо друг от друга открыли в 1840-м году английский физик Джеймс Джоуль и русский физик Эмилий Христианович Ленц. Этот физический закон определяет количество теплоты Q, выделяемой в проводнике при прохождении через него электрического тока.
Итак, тепло всегда выделяется в проводнике, когда в нем проходит ток. Однако, чрезмерный нагрев проводников и электротехнических устройств допускать нельзя, так как это приведет к их повреждению. Особенно опасен перегрев при коротком замыкании проводов, то есть при электрическом соединении проводников, подводящих электрическую энергию к потребителю.
При коротком замыкании обычно сопротивление остающихся под током проводников ничтожно, ток из-за этого достигает большой силы, и тепло выделяется в таком количестве, которое вызывает аварию. Для предохранения от коротких замыканий и чрезмерных перегревов в цепь включаются плавкие предохранители. Они представляют собой небольшие куски тонкой проволоки или пластинки, которые перегорают как только ток достигает определенной величины. Выбор плавких предохранителей производится в зависимости от площади сечения проводов.
27
Первое правило Кирхгофа утверждает, что алгебраическая сумма токов, сходящихся в любом узле цепи равна нулю:
В случае установившегося постоянного тока в цепи ни в одной точке проводника, ни на одном из его участков не должны накапливаться электрические заряды (узел – любой участок цепи, где сходятся более двух проводников (рис. 7.8)).
Рис. 7.8
Токи, сходящиеся к узлу, считаются положительными:
Второе правило Кирхгофа является обобщением закона Ома для разветвленной цепи.
Для произвольного замкнутого контура с произвольным числом разветвлений (рис. 7.9) можно записать для каждого элемента контура:
Рис. 7.9
Складывая эти уравнения получим второе правило Кирхгофа:
В любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма произведения тока на сопротивление равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом же контуре.
Обход контуров осуществляется по часовой стрелке, если направление обхода совпадает с направлением тока, то ток берется со знаком «плюс».