К практическому занятию № Пример алгоритма декомпозиции. Реализация и сложность алгоритма а.А.Карацубы

Алгоритм А.А.Карацубы позволяет сводить умножение двух n-значных чисел к трем умножениям n/2-значных чисел и нескольким операциям «+», «- » и разрядного сдвига.

Разрядный сдвиг для чисел, записанных в g-ичной системе счисления (g ℕ, g>1)-умножение или деление числа на степень g. Приводит к перемещению разрядной точки, приписыванию или отбрасыванию нулей. Разрядный сдвиг является менее затратной операцией по сравнению с умножением (делением) на произвольное число.

Пусть даны два n-значных числа, записанных в g-ичной системе счисления (g ℕ, g>1)

A=a a a a a _(g), B=b b b b b _(g)

Т огда A=(a g +a g + +a g )+ a g + + a = g (a g +a g + +a )+ a g + a g + + a = g A₁+A₀, где

A₁

A₀

A₁=a a a _(g), A₀=a a a _(g)

Аналогично, B= g B₁+B₀, где B₁=b b b _(g) , B₀=b b b _(g)

Рассмотрим AB=( g A₁+A₀)(g B₁+B₀)=A₁B₁g +(A₁B₀+A₀B₁) g + A₀B₀ (1)

где С=A₁B₀+A₀B₁=(A₁-A₀)(B₀-B₁)+A₁B₁+A₀B₀ (2)

Вычисление A∙B по формулам (1) и (2) требует:

1. Трех операций уможения -значных чисел A₁B₁, A₀B₀, (A₁-A₀)(B₀-B₁);

2. Шести операций «+» и «-»;

3. Двух операций разрядного сдвига – умножения на∙g и ∙g .

Оценка эффективности алгоритма

Пусть T(n) - время работы алгоритма при умножении n-значных чисел A и B. (исходная задача размера n).

Количество подзадач a=3. Размер подзадачи n/2, отсюда b=2.

T(n/2) - время работы над одной подзадачей - умножением двух n/2 - значных чисел.

T(1) – время умножения двух однозначных чисел. Можем считать T(1)=c.

d(n) – время «сборки» затрачиваемое на «+», «-» и разрядный сдвиг в формулах (1) и (2).

Количество цифр в числах A₁B₁, A₀B₀ и (A₁-A₀)(B₀-B₁) равно n-1. Действительно, например, А₁В₁=(a g +a g + +a ) (b g +b g + +b )= a b g + +a b , следовательно, их сложение и вычитание требует O(n-2)=О(n)k∙n времени, k=const.

Разрядный сдвиг на n и позиции требует O(n) времени.

Итого d(n)k₁n+k₂n=(k₁+k₂)n=kn, k=const

Таким образом, рекуррентное соотношение, оценивающее временную сложность алгоритма А.А. Карацубы имеет вид

. (1)

Упражнение: Определить в терминах О-большое асимптотическую временную сложность алгоритма Карацубы для умножения двух n-значных чисел.

К практическому занятию № Деревья. Обход дерева. Бинарные деревья.

Определение 1: Дерево (ориентированное), ордерево – множество элементов - узлов, один из которых называется корнем, и отношений, образующих иерархическую структуру узлов по правилам:

1. Пустое множество узлов является деревом.

2. Один узел является деревом, он является корнем этого дерева.

3. Пусть n - узел, а Т₁, Т₂, …,Т_k - деревья, с корнями n₁, n₂,…n_k. Если n находится в отношении с n₁, n₂,…,n_k (n – родитель узлов n₁, n₂,…,n_k, n₁, n₂,…,n_k – сыновья узла n), полученное множество Т с корнем n и поддеревьями Т₁, Т₂, …,Т_k также является деревом. Сыновья одного узла называются братьями.

Определение 2. Ордерево Т={{n}, T₁, …, T_k} называется упорядоченным ордеревом, если фиксирован порядок поддеревьев Т₁, Т₂,..., Т_k. В противном случае Т называется неупорядоченным ордеревом.

В упорядоченном ордереве поддеревья Т₁,…,Т_k изображаются в порядке следования слева направо, сыновья – ниже родителей. Считается, что все узлы поддерева Т_i-1 лежат левее любого узла поддерева Т_i.

Определение 3. Путем из узла n₁ в узел n_s называется последовательность улов n₁, n₂, …, n_s, где n_i является родителем узла n_i+1, . Длиной пути n₁, n₂, …, n_s называется число s-1. Следовательно, путь длины 0 - это путь от n₁ к n₁ (к самому себе). Если существует путь от узла к узлу , то называется предком узла , а - потомком узла .

Если путь от a к b имеет длину > 0, то называется истинным предком , а называется истинным потомком .

Узел, не имеющий истинных потомков, называется листом дерева.

Высотой узла дерева называется длина самого длинного пути из этого узла, до какого-нибудь, листа дерева. Высотой дерева называется высота его корня. Глубиной узла называется длина пути (он единственный) от корня до этого узла.

Обход дерева – упорядочение всех узлов дерева по некоторому правилу.

Рассмотрим правила обхода дерева в прямом, обратном и симметричном порядке.

1. Если Т - дерево, состоящее из одного узла n, в список узлов заносится этот узел.

2. Если Т - дерево с корнем n и поддеревьями Т₁, Т₂, …, Т_k, то:

   1. При обходе в прямом порядке (прямом обходе) сначала посещается (заносится в список) корень n, затем осуществляется обход в прямом порядке всех узлов Т₁, затем Т₂,...Т_k.

   2. При обходе в обратном порядке (обратном обходе) сначала посещаются в обратном порядке все узлы Т₁, затем посещаются поддеревья Т₂,…Т_k, также в обратном порядке. Последним посещается корень n.

   3. При симметричном обходе сначала осуществляется симметричный обход всех узлов Т₁, далее корень n, далее в симметричном порядке узлы Т₂, Т₃,..., Т_k.

Определение 4. Бинарное (двоичное) дерево – множество элементов - узлов, один из которых называется корнем, и отношений, образующих иерархическую структуру узлов по правилам:

1. Пустое множество узлов является бинарным деревом.

2. Один узел является бинарным деревом, он же является корнем этого дерева.

3. Пусть n - узел, а Т₁, Т₂ – бинарные деревья, с корнями n₁, n₂. Если n находится в отношении с n₁, n₂ (n – родитель узлов n₁, n₂, n₁, n₂ – сыновья узла n, причен n₁ определен как левый сын n, а n₂ определен как правый сын n), полученное множество Т с корнем n и бинарными поддеревьями Т₁, Т₂ также является бинарным деревом.

Замечание 1. В бинарном дереве, по определению 4, одно из бинарных поддеревьев Т₁, Т₂, или оба поддерева, могут быть пустыми бинарными деревьями. То есть узел n может иметь только левого сына n₁, или только правого сына n₂, или не иметь сыновей.

Замечание 2. Бинарное дерево не является упорядоченным ордеревом. Если в упорядоченном ордереве узел n имеет единственного сына n’, то узел n’ не может быть определен как левый или правый.

Пример.

Деревья Т₁ и Т₂ как бинарные деревья различны, так как Т₁ имеет только левого сына n₁, Т₂ имеет только правого сына n₂. Если же рассматривать Т₁ и Т₂ как упорядоченные ордеревья в смысле определения 1, то они совпадают и могут быть изображены как Т₃.

П редставление упорядоченных ордеревьев бинарными деревьями: от узла n ордерева проводится левая связь к самому левому сыну n₁, а от n₁ – правая связь к правому брату n₂ и т.д.